北京市石景山区2019届高三3月统一测试（一模）数学（理）试题.doc

www.ks5u.com ‎2019年石景山区高三统一测试 数 学（理）‎ ‎ 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1. 已知集合，，则下列关系中正确的是 A. P＝Q ‎ B. PQ C. QP D. ‎ ‎2.‎ 设是虚数单位，若复数，则复数的模为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.‎ 某几何体的三视图如右图所示，该几何 体的体积为 A. 2‎ B. 6‎ C. 10‎ D. 24‎ ‎4.‎ 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智 n为偶数 n为奇数 游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且 ，则解下个圆环所需的最少移动次数为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.‎ 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了 一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的，依次输入的为1，2，3，运行程序，输出的的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.‎ 已知平面向量，则是与同向的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.‎ 若，则下列各式中一定正确的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8.‎ 已知函数的一条对称轴为，，‎ 且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.‎ 若变量满足约束条件则的最小值为_________．‎ ‎10.‎ 等比数列的首项，，则其前项和_______． ‎ ‎11.‎ 在极坐标系中，直线与圆的位置关系为______．（填“相交”、 ‎ ‎“相切”或“相离”）‎ ‎12.‎ 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ‎______．（只需写出一个可能的值）‎ ‎13.‎ 过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，‎ 若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为____．‎ ‎14.‎ 在直角坐标系中，点和点，设集合，‎ 且，，则；点, 到轴距离之和的最小值为 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. （本小题13分）‎ 在中，角的对边分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的面积．‎ ‎16. （本小题13分）‎ 某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．‎ ‎（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；‎ ‎（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．‎ ‎17. （本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，，，，分别为的中点，在线段上（不包括端点）．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求；‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎18.（本小题13分）‎ 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为 ‎，右顶点在直线:上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．‎ ‎20.（本小题13分）‎ 若项数为的单调递增数列满足：‎ ‎①；‎ ‎②对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若数列具有性质，且，‎ ‎（ⅰ）证明数列的项数；‎ ‎（ⅱ）求数列中所有项的和的最小值．‎ ‎2019年石景山区高三统一测试 数学（理）试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B A D C A C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9．； 10．； 11．相交； ‎ ‎12．或 或； 13． ； 14．，．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)在中，，‎ ‎ ∴， ‎ ‎∵，，‎ 由正弦定理得， ‎ ‎∴． ‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得， ‎ ‎∴，‎ 解得或（舍） ‎ ‎∴ ‎ ‎． ‎ ‎16．（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A． ‎ 则． ‎ ‎(Ⅱ)可能取0，1，2，3，4． ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎． ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ ‎（Ⅲ）75． ‎ ‎17．（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在矩形中，∥， ‎ ‎∵分别为的中点，‎ ‎∴∥，且， ‎ ‎∴∥， ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：在矩形中，，‎ ‎∵矩形平面，且平面平面，‎ ‎∴平面， ‎ 又平面，‎ ‎∴， ‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面， ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（Ⅲ）在平面内作的垂线，如图建立 空间直角坐标系，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎，，， ‎ 设，∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，， ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴即 ‎ 令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量， ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面的法向量为， ‎ ‎∵二面角的大小 ‎∴，解得， ‎ ‎∵在上，∴． ‎ ‎18．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 由题设知，即，解得． ‎ 经验证满足题意。‎ ‎（Ⅱ）方法一： ‎ 令，即，则 ‎ （1） 当时，即 对于任意有，‎ 故在单调递减； ‎ 对于任意有，‎ 故在单调递增， ‎ 因此当时，有最小值为成立．‎ （2） 当时，即 对于任意有，‎ 故在单调递减， ‎ 因为，所以，即， ‎ 综上，的最大值为． ‎ 方法二：由题设知，当时，, ‎ ‎（1）当时，． ‎ 设，‎ 则， ‎ 故在单调递减， ‎ 因此，的最小值大于，所以． ‎ ‎（2）当时，成立． ‎ ‎（3）当时，，因为， ‎ 所以当时，成立． ‎ 综上，的最大值为． ‎ ‎19．（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）依题可知， ‎ ‎ 因为 ，‎ 所以 ‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下：由题意可设直线的方程为．‎ 则点坐标为，中点的坐标为， ‎ 由得 ‎． ‎ 设点的坐标为，则．‎ 所以，． ‎ 因为点坐标为，‎ ① 当时，点的坐标为，直线的方程为，‎ 点的坐标 为．‎ 此时以为直径的圆与直线相切． ‎ ② 当时，直线的斜率．‎ 所以直线的方程为,即． ‎ 故点到直线的距离 ‎ ‎ ‎（或直线的方程为,‎ 故点到直线的距离 ‎）‎ 又因为 ，故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ 解法二:‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下: 设点,则 ① 当时,点的坐标为，直线的方程为， ‎ 点的坐标为， ‎ 此时以为直径的圆与直线相切， ‎ ① 当时直线的方程为， ‎ 点D的坐标为,中点的坐标为,故 ‎ 直线的斜率为, ‎ 故直线的方程为,即, ‎ 所以点到直线的距离 ‎ 故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ ‎20．（本题13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ，所以 不具有性质 ；‎ ‎ 因为， ， ，所以 具有性质． ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（ⅰ）因为是单调递增数列，又， ‎ ‎ 所以 即，‎ ‎ 所以，‎ ‎ ，所以，，，，， ‎ ‎ 又因为，所以． ‎ ‎（ⅱ）因为，，，，；‎ 所以可以构造数列满足性质；‎ 或，，，，， ‎ 所以可以构造数列满足性质；‎ 上述两个数列的和为，下面说明为数列中所有项的和的最小值．‎ 若在数列中，要求数列中所有项的和的最小值，则， ‎ 若不在数列中，则 ，由（ⅰ）知， ‎ 则数列中所有项的和，‎ 所以要求数列中所有项的和的最小值，则．‎ 同理要求数列中所有项的和的最小值，则，‎ ‎，同理可得或；‎ 依此类推要求数列中所有项的和的最小值，其数列为或 所以数列中所有项的和的最小值为． ‎ ‎【若有不同解法，请酌情给分】‎