北京市朝阳区2019届高三第一次（3月）综合练习（一模）数学(理）试题.doc

www.ks5u.com ‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学 （理）‎ ‎ 2019．3‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 第一部分（选择题 共40分） ‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于 ‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．的展开式中的常数项为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．若函数 则函数的值域是 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎[‎ ‎8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A．5 B．6 C．7 D．8‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． ‎ ‎9．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 ．‎ ‎11．在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___． ‎ ‎12．能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是 ．‎ ‎13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．‎ ‎14．在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在中，，，的面积等于，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：‎ 假设乘客乘车等待时间相互独立．‎ ‎（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；‎ ‎（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；[]‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线平面? 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数 且.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）讨论函数的极值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；‎ ‎（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 在无穷数列中，是给定的正整数，，．‎ ‎（Ⅰ）若，写出的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；‎ ‎（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．‎ ‎[‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学（理）答案 ‎ ‎ 2019．3‎ 一、选择题：（本题满分40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D C A A C D B 二、填空题：（本题满分30分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎（答案不唯一）‎ ‎243‎ ‎3402‎ 三、解答题：（本题满分80分）‎ ‎15． (本小题满分13分)‎ 解：（Ⅰ）由已知得 整理得 解得或 因为，所以．………………………………………………….8分 ‎（Ⅱ）由正弦定理，‎ 即．‎ 所以 ……………………………….13分 ‎16．(本小题满分13分)‎ 解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．‎ ‎ 由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为 ‎，故的估计值为．‎ 乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为 ‎，故的估计值为．‎ 又.‎ 故事件的概率为．………………………………………………………….6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，[‎ 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.‎ 显然，的可能取值为且.‎ ‎ 所以；；‎ ‎ ；.‎ 故随机变量的分布列为 ‎ .……………….13分 ‎17．(本小题满分14分)‎ 解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，‎ 所以．‎ 又因为平面平面，‎ 且平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以．………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．‎ ‎ 因为，所以两两垂直．‎ 分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 即 ‎ 令，则，‎ 所以．‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．……………….9分 ‎（Ⅲ）设，‎ 设，则，‎ 所以，所以，‎ 所以．‎ 设平面的一个法向量为，则 ‎ 因为，所以 ‎ 令，则，所以．‎ 在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．‎ 因为，由，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以线段上存在点，使得平面，且．……………….14分 ‎18． (本小题满分13分)‎ 解：（Ⅰ）当时，．所以．‎ 因为，‎ 所以曲线在处的切线方程为．……………….3分 ‎（Ⅱ）当时，．‎ ‎ 函数的定义域为．‎ ‎ 不等式成立成立成立.‎ 设，‎ 则．‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以．‎ 因为，所以，‎ 所以．………………………………………………………………….8分 ‎（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．‎ 当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 此时有极大值，无极小值．‎ 当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎－‎ ‎[‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 此时有极小值，无极大值．……………………………………………….13分 ‎19． (本小题满分14分)‎ 解：（Ⅰ）由题意，， ‎ 所以离心率，左焦点．………………………………………….4分 ‎（Ⅱ）当时直线方程为或，直线与椭圆相切．‎ 当时，由得，‎ 由题知，，即，‎ 所以 ‎ ‎=．‎ 故直线与椭圆相切．………………………………………………………….8分 ‎（Ⅲ）设，，‎ 当时，，，，‎ ‎， ‎ 所以，即．‎ 当时，由 得，‎ 则，，‎ ‎．‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ 所以，即．‎ 故为定值． ………………………………………………………….14分 ‎20． (本小题满分13分)‎ 解：(I)．.………………………………………………………….3分 ‎(II)反证法：假设,由于，‎ 记.则.‎ 则，,‎ ‎，，，‎ 依次递推，有，…，‎ 则由数学归纳法易得 当时，与矛盾.‎ 故存在，使 所以，数列必在有限项后出现值为的项．………………………………………….8分 ‎(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，‎ 假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是 ，令，，则必有，‎ 于是，由，则，因此是的因数，‎ 由，则或，因此是的因数.‎ 依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．‎ 其次证明数列中必有无穷多项为“1”.‎ 假设数列中的第一个“1”项是，令，，‎ 则，‎ 若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，‎ 故有无穷多项为1；‎ 若，则，‎ 若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；‎ 若，则从开始的项依次为，……，‎ 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分