2019年海南省中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
1．2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．方程x+3＝2的解为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．2018年6月3日，海南宣布设立海南自贸区海口江东新区，总面积约298000000平方米．数据298000000用科学记数法表示为（ ）
A．298×106 B．29.8×107 C．2.98×108 D．0.298×109
4．某班5位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50、45、36、48、50．则这组数据的众数是（ ）
A．36 B．45 C．48 D．50
5．如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．x2+x3＝x5 D．x6÷x3＝x3
7．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α＝120°，则∠β的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
8．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
10．某文化衫经过两次涨价，每件零售价由81元提高到100元．已知两次涨价的百分率都为x，根据题意，可得方程（ ）
A．81（1+x）2＝100 B．8l（1﹣x）2＝100
C．81（1+x%）2＝100 D．81（1+2x）＝100
11．要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则的长是（ ）
A．π B． C． D．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
14．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．代数式中x的取值范围是 ．
16．已知在反比例函数y＝图象的任一分支上，y都随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的一动点，当△AOP与△APB相似时，∠BAP等于 ．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）（1）计算：4×（﹣）+3﹣2
（2）先化简，再求值：a（a﹣3）﹣（a﹣1）2，其中a＝﹣．
20．（8分）“绿水青山就是金山银山”
，某省2018年新建湿地公园和森林公园共42个，其中森林公园比湿地公园多4个．问该省2018年新建湿地公园和森林公园各多少个？
21．（8分）某校为了解本校九年级学生物理实验操作技能考查的备考情况，随机抽取该年级部分学生进行了一次测试，并根据中考标准按测试成绩分成A、B、C、D四个等级，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取参加测试的学生为 人，扇形统计图中A等级所对的圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该校九年级男生有300人，请估计该校九年级学生物理实验操作成绩为C等级的有 人．
22．（8分）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度．（sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
23．（13分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE；
（2）若AB＝3n，FB＝GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
24．（15分）如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和直线BC的表达式．
（2）如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．
①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2019年海南省中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
1．2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2019的相反数是﹣2019．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
2．方程x+3＝2的解为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】依次移项，合并同类项，即可得到答案．
【解答】解：移项得：x＝2﹣3，
合并同类项得：x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．2018年6月3日，海南宣布设立海南自贸区海口江东新区，总面积约298000000平方米．数据298000000用科学记数法表示为（ ）
A．298×106 B．29.8×107 C．2.98×108 D．0.298×109
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：298000000＝2.98×108．
故选：C．
【点评】此题考查用科学记数法表示大数．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1．
4．某班5位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50、45、36、48、50．则这组数据的众数是（ ）
A．36 B．45 C．48 D．50
【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案．
【解答】解：在这组数据50、45、36、48、50中，
50出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是50，
故选：D．
【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看外面是一个矩形，里面是一个圆形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6．下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．x2+x3＝x5 D．x6÷x3＝x3
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法求出每个式子的值，再进行判断即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故本选项错误；
B、（x2）3＝x6，故本选项错误；
C、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、x6÷x3＝x3，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
7．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α＝120°，则∠β的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】根据平行线的性质得∠1＝∠2，根据三角形外角性质有∠α＝∠2+∠3，可计算出∠2＝120°﹣45°＝75°，则∠1＝75°，根据对顶角相等即可得到∠β的度数．
【解答】解：如图，
∵m∥n，
∴∠1＝∠2，
∵∠α＝∠2+∠3，
而∠3＝45°，∠α＝120°，
∴∠2＝120°﹣45°＝75°，
∴∠1＝75°，
∴∠β＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质以及对顶角的性质．
8．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（﹣4，6），
∴D（4，6）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED＝60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝∠CED＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED＝60°．
10．某文化衫经过两次涨价，每件零售价由81元提高到100元．已知两次涨价的百分率都为x，根据题意，可得方程（ ）
A．81（1+x）2＝100 B．8l（1﹣x）2＝100
C．81（1+x%）2＝100 D．81（1+2x）＝100
【分析】由两次涨价的百分率都为x，结合文化衫原价及两次涨价后的价格，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵两次涨价的百分率都为x，
∴81（1+x）2＝100．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
11．要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小强和小红同时入选的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，小强和小红同时入选的有2种情况，
∴小强和小红同时入选的概率是：＝．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则的长是（ ）
A．π B． C． D．
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴的长＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
【分析】如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM＝B′M＝x，则AM＝7﹣x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7﹣x）2＝25﹣x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．
【解答】解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．
∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，
∴设DM＝B′M＝x，则AM＝7﹣x，
又由折叠的性质知AB＝AB′＝5，
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2＝AB′2﹣B′M2
即（7﹣x）2＝25﹣x2，
解得x＝3或x＝4，
则点B′到BC的距离为2或1．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△AMB′和等腰直角△B′DM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
14．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
【解答】解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．代数式中x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件解答．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案是：x＞1．
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不能为零．
16．已知在反比例函数y＝图象的任一分支上，y都随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值 k＞1 ．
【分析】根据“在反比例函数y＝图象的任一分支上，y都随x的增大而增大”，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
1﹣k＜0，
解得：k＞1，
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
17．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的一动点，当△AOP与△APB相似时，∠BAP等于 45° ．
【分析】需要分类讨论：△APB∽△AOP和△APB∽△APO．利用相似三角形的对应角相等和圆周角定理解答．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°．
①当△APB∽△AOP时，∠BAP＝∠PAO，∠APB＝∠AOP＝90°，此时OP⊥AB，
由垂径定理知，OP垂直平分AB，此时△AOP是等腰直角三角形，
∴∠PAO＝45°．
②当△APB∽△APO时，需要∠APB＝∠APO，很明显，不成立，舍去．
故答案是：45°．
【点评】考查了相似三角形的判定，圆周角定理，利用圆周角定理推知∠APB＝90°是解题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．
【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′＝45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝4，得出正方形边长即可．
【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）（1）计算：4×（﹣）+3﹣2
（2）先化简，再求值：a（a﹣3）﹣（a﹣1）2，其中a＝﹣．
【分析】（1）先计算乘法、算术平方根和负整数指数幂，再计算加减可得；
（2）根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣3﹣4+
＝﹣7+
＝﹣6；
（2）原式＝a2﹣3a﹣a2+2a﹣1
＝﹣a﹣1，
当a＝﹣时，
原式＝﹣1＝﹣．
【点评】本题主要考查实数的混合运算与整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
20．（8分）“绿水青山就是金山银山”，某省2018年新建湿地公园和森林公园共42个，其中森林公园比湿地公园多4个．问该省2018年新建湿地公园和森林公园各多少个？
【分析】根据两个量的比较可设新建湿地公园为x个，则森林公园为（x+4）个，再根据和的关系列出方程即可解决．
【解答】解：设新建湿地公园为x个，则森林公园为（x+4）个，由题意得
x+（x+4）＝42
解得x＝19，
∴x+4＝23
答：该省2018年新建湿地公园为19个，森林公园为23个．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，理清题意是重点，能根据题意列出等量关系是关键．
21．（8分）某校为了解本校九年级学生物理实验操作技能考查的备考情况，随机抽取该年级部分学生进行了一次测试，并根据中考标准按测试成绩分成A、B、C、D四个等级，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取参加测试的学生为 50 人，扇形统计图中A等级所对的圆心角是 72 度；
（2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该校九年级男生有300人，请估计该校九年级学生物理实验操作成绩为C等级的有 60 人．
【分析】（1）由A类别的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A类别的百分比即可得；
（2）由各类别人数之和等于总人数求得C的人数，再求出C和D类别对应百分比可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中C等级的百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽取参加测试的学生为15÷30%＝50（人），
A类所对的圆心角是360×20%＝72°，
故答案为：50，72；
（2）C类的人数为50﹣（15+22+3）＝10，
C类的百分比为×100%＝20%，D类的百分比为×100%＝6%，
（3）300×20%＝60（名），
答：估计该校九年级学生物理实验操作成绩为C等级的有60名．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度．（sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设塔高AB＝x，则AE＝（x﹣10）m，在Rt△ADE中表示出DE，在Rt△ABC中表示出BC，再由DE＝BC可建立方程，解出即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC，
设塔高AB＝xm，则AE＝（x﹣10）m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
则DE＝（x﹣10）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝x，
由题意得，（x﹣10）＝x，
解得：x＝15+5≈23.7．即AB≈23.7米．
答：塔的高度约为23.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．
23．（13分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE；
（2）若AB＝3n，FB＝GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CN，由此可知∠B＝∠ECN，再根据全等三角形的判定方法ASA即可证明△ABE≌△NCE；
（2）因为AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用相似三角形的性质和已知条件即可得到含n的式子表示线段AN的长．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CN，
∴∠B＝∠ECN，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△NCE中，
，
∴△ABE≌△NCE（ASA）．
（2）∵AB∥CN，
∴△AFG∽△CNG，
∴AF：CN＝AG：GN，
∵AB＝CN，
∴AF：AB＝AG：GN，
∵AB＝3n，F为AB中点
∴FB＝GE，
∴GE＝n，
∴＝，解得AE＝3n，
∴AN＝2AE＝6n．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的平和性质，题目的综合性较强，难度中等．
24．（15分）如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和直线BC的表达式．
（2）如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．
①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设：二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，即可求解；
（2）①S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，
即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，点C（0，﹣1），
则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，
将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；
（2）①设点P（x， x2﹣x﹣1），则点D（x， x﹣1），
S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB
＝×3×1+×2（x﹣1﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+，
∵﹣0，故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；
②设点D坐标为（m， m﹣1），
则CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+（m﹣1）2＝m2﹣m+1，
当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，
同理可得：
当CD＝OD时，m＝1，
当OC＝OD时，m＝，
则点P坐标为（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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