第19课时 矩形、菱形、正方形考点梳理 自主测试
考点一 矩形的性质与判定
1.定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.性质
(1)矩形的对边平行且相等;
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线相等;
(4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它
的对称中心是对角线的交点.
3.判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.考点梳理 自主测试
考点二 菱形的性质与判定
1.定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质
(1)菱形的对边平行,四边都相等;
(2)菱形的对角相等;
(3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角.
3.判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(3)四条边都相等的四边形是菱形.
4.菱形的面积
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形= ab.(其中a,b为菱
形对角线长)考点梳理 自主测试
考点三 正方形的性质与判定
1.定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形.
2.性质
(1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
(2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组
对角;
(3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边
中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交
点是它的对称中心.考点梳理 自主测试
3.判定
(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
(2)一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4)有一个角是直角的菱形是正方形;
(5)对角线相等的菱形是正方形.
4.正方形的面积公式:S=a2(a为边长)或S= l2.(l为对角线的长)考点梳理 自主测试
1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列
结论不正确的是( )
A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形
D.当∠ABD=∠CBD时,四边形ABCD是矩形
答案:D
2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形
ACEF的周长为( )
A.14 B.15
C.16 D.17
答案:C考点梳理 自主测试
3.下列命题是真命题的是( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形
D.两边相等的平行四边形是菱形
答案:C
4.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到
△A'BD',此时A'D'与CD交于点E,则DE的长度为 . 考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
命题点1 矩形的性质与判定
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC和∠BAC外
角的平分线,BE⊥AE.
(1)求证:DA⊥AE;
(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.
分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证;在第(2)题中
,AB与DE是四边形ADBE的对角线,可考虑利用矩形的判定,证明四
边形ADBE是矩形即可.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
(1)证明:∵AD,AE分别平分∠BAC,∠BAF,
(2)解:AB=DE.
理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°.
∵∠DAE=90°,∴四边形ADBE是矩形.∴AB=DE.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
命题点2 菱形的性质与判定
【例2】如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分
∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan ∠ADP的值.
(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF.
∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF.
∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.
同理,AB=BE.∴AF=BE.
又AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
(2)解:过点P作PG⊥AD于点G,如图.
∵四边形ABEF是菱形,
∠ABC=60°,
∴△ABE是等边三角形.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
变式训练如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,
AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求△BDE的周长;
(2)点P为线段BC上的点,连接PO,并延长交AD于点Q,求证
:BP=DQ.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
(1)解:因为四边形ABCD为菱形,所以BE∥AD.
又AC∥DE,所以四边形ACED为平行四边形,
则有AB=AD=BC=CE=5,
所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.
(2)证明:因为四边形ABCD为菱形,
所以OB=OD,BE∥AD,则∠DBC=∠ADB.
又∠BOP=∠DOQ,所以△BOP≌△DOQ,
故有BP=DQ.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
命题点3 正方形的性质与判定
【例3】如图①,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边
AB,BC,CD,DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O.
(1)如图②,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证
明你的结论;
(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按
图③的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3 cm,
HA=EB=FC=GD=1 cm,则图③中阴影部分的面积为 cm2.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
分析:根据题目的条件,可先证△AEH,△BFE,△CGF,△DHG四个三
角形全等,证得四边形EFGH的四边相等,然后由全等再证一个角是
直角.
解:(1)四边形EFGH是正方形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.
∵HA=EB=FC=GD,∴AE=BF=CG=DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EF=FG=GH=HE.
∴四边形EFGH是菱形.
由△DHG≌△AEH,知∠DHG=∠AEH.
∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH是正方形.
(2)1考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
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