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宜宾市2019届高三第二次诊断测试题
数 学（理工类）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则的虚部为
A. B. C. D.
2．已知集合则
A. B. C. D.
3．一个袋子中有个红球,个白球,若从中任取个球,则这个球中有白球的概率是
A. B. C. D.
4．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
5．若函数的图象恒过点，则
A. B. C. D.
6．已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，
若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋
转，则它的侧视图可以为
第6题图
7．在中，是的中点，向量，设，则
A. B. C. D.
8．设为等比数列的前项和， 若，，则的公比的取值范围是
A. B. C. D.
9．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，，则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
10．要得到函数的图象，可以将函数的图象
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
11．过直线上一点，作圆的切线，切点分别为，则当四边形面积最小时直线的方程是
A. B.
C. D.
12．若关于的不等式≤成立，则的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．数列中，若， ，则_____．
14．二项式的展开式中常数项是_______．
15．已知奇函数是定义在上的单调函数，若函数恰有
个零点，则的取值范围是_______．
16．已知直线与抛物线交于两点，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，为坐标原点，若，则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必做题：共60分.
17．（12分）
如图,在四边形中, ．
（1）求边的长及的值；
（2）若记 求的值． [
第17题图
18．（12分）
艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
感染人数
（单位：万人）
34.3
38.3
43.3
53.8
57.7
65.4
71.8
85
（1）请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；
（2）请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合与的关系；
（3）建立关于的回归方程(系数精确到)，预测年我国艾滋病病毒感染人数.
附注：
参考数据：
第18题图
参考公式：相关系数
回归方程中，
19．（12分）
如图，四边形是菱形，平面，，平面，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，
求二面角的余弦值．
第19题图
20．（12分）
已知点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线 交于两点，求证的周长为定值．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，判断有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；
（2）若，求的取值范围．
（二）选做题：共分。请考生在题中任选择一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，抛物线的方程为，以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，与轴交于点．
（1）求的直角坐标方程，点的极坐标；
（2）设与相交于两点，若成等比数列，求的值．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．[]
宜宾市2019届高三第二次诊断测试题
数学（理工类）参考答案
一、 选择题：CDBCC，BAADA，BD
二、填空题：
三、解答题：
17.解：⑴在中，
………………………………………3分
在中，
……………………6分
⑵ 由⑴ 知
………………………9分
……………………12分
18.解：⑴所求折线图如图； ………..…2分
⑵ ………3分
……..…5分
……6分
说明与的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合与
的关系 ………7分
⑶
………………………………………………………………………………10分
当时，
预测年我国艾滋病感染累积人数为万人……………………………………12分
19.(1) 证明：设连接
是菱形，是的中点
是中点， ，
平面 平面 ………2分
平面，平面平面
平面，平面，………4分
平面平面
平面 ………6分
(2) 由(Ⅰ)知
底面，， 两两垂直， ………7分
如图建立空间直角坐标系，设，
，则
设平面的法向量得，可取…9分
…………………11分
二面角的余弦值 …………………12分
20（12分）解：⑴设由题意得 ……………2分
为轨迹的方程； …………………4分
⑵法一：设到的距设为， []
……………6分
……………8分
……………10分
同理
的周长为定值 …………………12分
法二：设由题知
直线与圆相切
即 ① …………………5分
把代入得
显然 …………………7分
……9分
…11分
的周长为定值 ……………..…………12分
21.（12分）解：定义域为 ……………..…………1分
⑴当时， ……………..…………2分
令，则，
① 当时，，为减函数，,
,无极值点
②当时，，为增函数，,
,无极值点
综上，当时， 没有极值点 ……………..…………4分
⑵ 法一：由，得
令则……………..…………5分
①当时，时；时，
成立. 合题意. ……………..…………7分
②当时，
当时，为减函数，成立
当时，为减函数，成立
合题意. ……………..…………9分
③当时，由得，
设两根为
由得，解集为
在上为增函数，
，不合题意； ……………..…………11分
综上，的取值范围是 ……………..…………12分
22.（10分）解：⑴由得，
的直角坐标方程 ……..…………3分
令得点的直角坐标为, 点的极坐标为 ………5分[
⑵ 由⑴知的倾斜角为,参数方程为（为参数）代入，
得 ……..…………7分
……..…………9分
……..…………10分
23.⑴解：由得，
………………………………3分
………………………………5分
⑵
………………………4分[
……………5分
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