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高三数学阶段测试（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D.
2.已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（ ）
第6题
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是（ ）
A. 若为真命题，则为真命题.
B. “”是“”的充要条件.
C. 命题“，则或的逆否命题为
“若或，则”.
D. 命题：，使得，则：
，使得.
5.等差数列前项和为，，则（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A.2019 B.2018 C.2017 D.2016
7.设,,，,则（ ）
A. B.
C. D.
8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
9．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支,两点，以线段为直径的圆过右焦点,则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D.
11已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范（ ）
A. B. C. D.
12.设为不超过的最大整数，为()可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确个数的有（ ）
⑴ ⑵ 190是数列中的项 ⑶ ⑷ 当时，取最小值
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4
二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为 .
14.已知实数，满足约束条件，则的最大值为 .
15.已知的展开式中含项的系数为，则 .
16已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知锐角面积为，,,所对边分别是,,，,平分线相交于点,且，
求：（1）的大小；（2）周长的最大值.
18.(本小题满分12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；
（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间
（百分比）
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
频数
20
60
60
30
20
10
（）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值
的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：①，；②
19.（本小题满分12分）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所在平面成角,,,,.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）已知椭圆:，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，, 直线：.
（1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
21. （本小题满分12分）已知函数，.
（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；
（2）若函数的两个零点分别为，且，求证：.
22． （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知与,的公共点分别为,，，当
时，求的值．
高三阶段考试答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
B
A
A
C
B
D
C
二、 填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）.
13. 14. 15. 16. ：
17. 解：（1）
故：. ..............4分
（2）设周长为，，则
，.............6分
由正弦定理得
，
= …………10分
当时，周长的最大值为. …………12分
18. （1）易知， ，
，
则y关于t的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ..........................6分
（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值
，及中位数的估计值分别为：，
中位数的估计值为. ...........8分
（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.
,,
故随机变量的分布列为
X
1
2
3
P
........12分
19.证明：（1）
且
又
平面平面…………5分
（2）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所在平面成
又，
如图建立空间直角坐标系
,,,
由,得
设平面,平面的法向量分别为
，，,,
得 得
二面角的余弦值为 …………12分
20. 解：（1） 得
所求椭圆方程： …………4分
（2）当直线斜率存在时，设直线：，、
直线PA:
令，得， 同理
以MN为直径的圆：
整理得： ①
得
， ②
将②代入①
整理得：
令，得或
当直线斜率不存在时，、、、
以为直径的圆：也过点、两点
综上：以MN为直径的圆能过两定点、 …………12分
21. （1）解：当时， （）
则，切点为,
故函数在处的切线方程为. ……3分
令，则在是减函数
又 ，，
是减函数
…………7分
（2）证明：不妨设
，
，
相减得：
令，即证，
令，
在上是增函数 又
，命题得证 …………12分
22. 解（1）曲线的极坐标方程为，即．
曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为． …………5分
（2）由（1）知，
，
由，知，当，
． ………10分
23. 解：(1) 故
故的解集为. …………5分
（2）由，能成立，
得能成立，
即能成立，
令，则能成立，
由（1）知， 又
实数的取值范围： ………10分
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