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安徽省阜阳三中2018-2019学年高二下学期
期中考试理科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(60分)
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．和 D．
3．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数是上的连续可导函数， 若，则的极值点为（ ）
A．， B． C． D．
5．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某次比赛结束后，记者询问裁判进入半决赛的甲、乙、丙、丁四位参赛者谁获得了冠军，裁判给出了三条线索：①乙、丙、丁中的一人获得冠军；②丙获得冠军；③甲、乙、丁中的一人获得冠军.若给出的三条线索中有一条是真的，两条是假的，则获得冠军的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.下面给出了四个类比推理：
①由“若,则”类比推出“若为三个向量,
则”；②“为实数，若，则”类比推出“为复数，若”③“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”④“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．函数在上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11． 已知偶函数对于任意的满足，(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C. D．
12．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(共90分)
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．复数为虚数单位）的虚部为________
14． ．
15．已知函数，则的最大值是__________．
16．函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是__________．
三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题10分）已知复数.
(1)若，求；
(2)若在复平面内复数对应的点在第一象限,求的取值范围.
18．（本小题12分）
（1)已知且，求证：，中至少有一个小于2.
（2）已知，，求证：
19．（本小题12分）
已知函数（为实数）.
（I）若在处有极值，求的值；
（II）若在上是增函数，求的取值范围.
20．（本小题12分）
已知数列满足,且.
（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．
21．（本小题12分）
已知函数.
（Ⅰ）求证：当时，函数在上存在唯一的零点；
（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.
22．（本小题12分）
已知函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证： .
高二年级理科参考答案
一.选择题
1．C
2．D
【解析】⇒ .
令f′(x)>0⇒−30，∴01，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1.即－>1.这是已知条件，所以原不等式成立．
19．解：由已知得的定义域为
又 ……3分
由题意得
……5分
（II）解：依题意得
对恒成立， ……7分
……9分
的最大值为
的最小值为 ……11分
又因时符合题意
为所求
20．（1），；（2）证明见解析.
试题解析： ⑴，猜想：．
（2）①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即当时，结论也成立，
由①②得，数列的通项公式为.
21．【解析】（Ⅰ）函数，定义域为，，
由，所以，则函数在单调递增，
又，，函数在上单调递增，
所以函数在上存在唯一的零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），，，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，]
则在时取最大值，且最大值为.
“存在，使得成立”等价于“时，”，所以，即，
令，，则在单调递增，且，
所以当时，，当时，，
即的取值范围为.
22．【解析】（1），
①若，所以在上单调递增；
②若，解，得，或，
解，得，
此时在上单调递减.
在上单调递增，在上单调递增.
综上，当时， 在上单调递增，
当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增.
（2）由（2）知时， 存在两个极值点，且是方程的两根，所以，所以 ，
令，
所以在上单调递减，所以，
所以
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