2019年北京市大兴区北京亦庄中考数学一模试卷（含答案解析）.doc

2019 年北京市大兴区北京亦庄实验中学中考数学一模试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．实数 a、b、c、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．d 2．下列计算正确的是（　　） A．（3xy）2÷（xy）＝3xy B．（﹣x4）3＝﹣x12 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（4x﹣1）（﹣4x+1）＝16x2﹣1 3．某次“迎奥运”知识竞赛中共20 道题，对于每一道题，答对得 10 分，答错或不答扣 5 分，选手 至少要答对（　　）道题，其得分才会不少于 95 分？ A．14 B．13 C．12 D．11 4．如图，点 P 是定线段 OA 上的动点，点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 后，再立即按原 路返回至点 O 停止，点 P 在运动过程中速度大小不变，以点 O 为圆心，线段 OP 长为半径作圆， 则该圆的周长 l 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角对应相等的 两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等，其中属于真命题 的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，两个反比例函数 y＝ 和 y＝ （其中 k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PC⊥x 轴于点 C，交 C2 于点 A，PD⊥y 轴于点 D，交 C2 于点 B，则四边形 PAOB 的面积为（　　）A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D． 7．第 14 届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方 向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（　　） A． B． C． D． 8．为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E： 其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，随机抽取 50 名中学生进行该问卷调 查，根据调查的结果绘制成如图所示的条形统计图，该调查的方式与图中 a 的值分别是（　　） A．普查，26 B．普查，24 C．抽样调查，26 D．抽样调查，24 9．如图，长为 8cm、宽为 6cm 的长方形纸上有两个半径均为 1cm 的圆形阴影，随机往纸上扎针， 则针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 10．函数 y＝ax﹣a 与 y＝ （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C． D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．计算（ ﹣π）0﹣（﹣1）2018 的值是　 　． 12．如果方程组 的解是方程 7x+my＝16 的一个解，则 m 的值为　 　． 13．将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，上 述记号就叫做 2 阶行列式．若 ，则 x＝　 　． 14．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两 个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水 管起　 　分钟该容器内的水恰好放完． 15．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点 的俯角分别为 45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线 上，则这条江的宽度 AB 为　 　米（结果保留根号）． 16．一块直角三角形板 ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，测得 BC 边的中心投影 B1C1 长 为 24cm，则 A1B1 长为　 　cm．三．解答题（共 7 小题） 17．先化简，再求值： （1）[x2+y2﹣（x+y）2+2x（x﹣y）]÷4x，其中 x﹣2y＝2 （2）（mn+2）（mn﹣2）﹣（mn﹣1）2，其中 m＝2，n＝ ． 18．甲商品的进价为每件 20 元，商场将其售价从原来的每件 40 元进行两次调价．已知该商品现价 为每件 32.4 元， （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件．已知甲商品售价 40 元时每月可销售 500 件，若商场希望该商品每月能盈利 10000 元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还 应如何调整？ 19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1＝﹣2x 的图象与反比例函数 y2＝ 的图象 交于 A（﹣1，n），B 两点． （1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标； （2）观察图象，请直接写出满足 y≤2 的取值范围； （3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横 坐标． 20．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建．如图，A、B 两地之 间有一座山．汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已知 BC＝100 千米，∠A＝45°，∠B＝30°． （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（结果保留根号） 21．某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试 成绩为样本，按 A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统 计结果绘制成如下统计图表．请你结合图表中所给信息解答下列问题： 等级 人数 A（优秀） 40 B（良好） 80 C（合格） 70 D（不合格） （1）请将上面表格中缺少的数据补充完整； （2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是　 　； （3）该校八年级共有 1200 名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的 人数． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为（0，﹣1），点 C（m，0）是 x 轴上的一个动 点． （1）如图 1，点 B 在第四象限，△AOB 和△BCD 都是等边三角形，点 D 在 BC 的上方，当点 C 在 x 轴上运动到如图所示的位置时，连接 AD，请证明△ABD≌△OBC； （2）如图 2，点 B 在 x 轴的正半轴上，△ABO 和△ACD 都是等腰直角三角形，点 D 在 AC 的上 方，∠D＝90°，当点 C 在 x 轴上运动（m＞1）时，设点 D 的坐标为（x，y），请探求 y 与 x 之间的函数表达式； （3）如图 3，四边形 ACEF 是菱形，且∠ACE＝90°，点 E 在 AC 的上方，当点 C 在 x 轴上运动 （m＞1）时，设点 E 的坐标为（x，y），请探求 y 与 x 之间的函数表达式． 23．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3 交 x 轴于点 A（﹣1，0）和点 B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形 ACFD 的面积； ②点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQ⊥x 轴交该抛物线于点 Q， 连接 AQ、DQ，当△AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标．2019 年北京市大兴区北京亦庄实验中学中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【解答】解：由图可知：c 到原点 O 的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是 c； 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距 离最小的数． 2．【分析】根据整式的除法，积的乘方运算，完全平方公式，多项式乘以多项式分别进行计算后， 可得到正确答案． 【解答】解：A、（3xy）2÷（xy）＝9（xy）2÷（xy）＝9xy，故此选项错误； B、（﹣x4）3＝﹣x12 故此选项正确； C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误； D、（4x﹣1）（﹣4x+1）＝﹣16x2+4x+4x﹣1＝16x2+8x﹣1，故此选项错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的除法，积的乘方，完全平方公式，多项式乘以多项式，关键是需 要同学们牢固掌握各个运算法则，不要混淆． 3．【分析】本题可设答对 x 道题，则答错或不答的题目就有 20﹣x 个，再根据得分才会不少于 95 分，列出不等式，解出 x 的取值即可． 【解答】解：设答对 x 道，则答错或不答的题目就有 20﹣x 个． 即 10x﹣5（20﹣x）≥95 去括号：10x﹣100+5x≥95 ∴15x≥195 x≥13 因此选手至少要答对 13 道． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的运用，解此类题目时常常要设出未知数再根据题意列出不等式解题即可． 4．【分析】根据题意，分点P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 时，与点 P 按原路返回至点 O， 两种情况分析，可得两段都是线段，分析可得答案． 【解答】解：设 OP＝x， 当点 P 从 O 点出发，沿线段 OA 运动至点 A 时，OP 匀速增大，即 OP＝x 为圆的半径，则根据圆 的周长公式，可得 l＝2πx； 当点 P 按原路返回至点 O，OP 开始匀速减小，设 OP＝x，则圆的半径为 x﹣OA，则根据圆的周 长公式，可得 l＝2π（x﹣OA） 分析可得 B 符合， 故选：B． 【点评】解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而得到整 体的变化情况． 5．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题； ②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等是真命题； ③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等是真命题， 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握全 等三角形的判定定理是解题的关键． 6．【分析】四边形 PAOB 的面积为矩形 OCPD 的面积减去三角形 ODB 与三角形 OAC 的面积，根 据反比例函数 中 k 的几何意义，其面积为 k1﹣k2． 【解答】解：根据题意可得四边形 PAOB 的面积＝S 矩形 OCPD﹣SOBD﹣SOAC， 由反比例函数 中 k 的几何意义，可知其面积为 k1﹣k2． 故选：B． 【点评】主要考查了反比例函数 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线， 所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点． 7．【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形． 【解答】解：由立体图形可得其俯视图为：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键． 8．【分析】根据抽样调查的定义判断抽查方式，利用总数 50 减去其它各组的人数即可求得 a 的 值． 【解答】解：调查方式是抽样调查，a＝50﹣6﹣10﹣6﹣4＝24． 故选：D． 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决 问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 9．【分析】分别求出圆和长方形的面积，它们的面积比即为针落在阴影部分的概率． 【解答】解：长方形的面积＝8×6＝48cm2， 两个圆的总面积是：2πcm2， 则针落在阴影部分的概率是 ＝ ； 故选：A． 【点评】本题考查几何概率的求法：注意圆、长方形的面积计算．用到的知识点为：概率＝相应 的面积与总面积之比． 10．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则 a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关 系对 A、B 进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则 a＜0，然后根据一次函数图象 与系数的关系对 C、D 进行判断． 【解答】解：A、从反比例函数图象得 a＞0，则对应的一次函数 y＝ax﹣a 图象经过第一、三、四 象限，所以 A 选项错误； B、从反比例函数图象得 a＞0，则对应的一次函数 y＝ax﹣a 图象经过第一、三、四象限，所以 B 选项错误； C、从反比例函数图象得 a＜0，则对应的一次函数 y＝ax﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以 C 选项错误； D、从反比例函数图象得 a＜0，则对应的一次函数 y＝ax﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以 D 选项正确． 故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数 y＝ 的图象为双曲线，当 k＞0，图象分布在 第一、三象限；当 k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．【分析】根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝1﹣1 ＝0， 故答案为：0 【点评】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型． 12．【分析】两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的 x、y 的值代入 7x+my＝16 中，即可得出 m 的值． 【解答】解：解方程组 ，得： ， 将 代入 7x+my＝16，得：14+m＝16， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法，本 题运用的是加减消元法． 13．【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的 值． 【解答】解：根据题意化简 ＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8， 整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即 4x＝8， 解得：x＝2． 故答案为：2 【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括 号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 14．【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可 以求出结论． 【解答】解：由函数图象得： 进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5 升设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得 20+8（5﹣a）＝30， 解得：a＝ ， 故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷ ＝8 分钟． 故答案为：8． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正 确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解 决． 15．【分析】在 Rt△ACH 和 Rt△HCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后 计算出 AB 的长． 【解答】解：由于 CD∥HB， ∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30° 在 Rt△ACH 中，∵∴∠CAH＝45° ∴AH＝CH＝1200 米， 在 Rt△HCB，∵tan∠B＝ ∴HB＝ ＝ ＝ ＝1200 （米）． ∴AB＝HB﹣HA ＝1200 ﹣1200 ＝1200（ ﹣1）米 故答案为：1200（ ﹣1） 【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出 AH 和 BH．16．【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求 A1B1 即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm， ∴AB＝4 ，∵△ABC∽△A1B1C1， ∴A1B1：AB＝B1C1：BC＝2：1，即 A1B1＝8 cm． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用 中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． 三．解答题（共 7 小题） 17．【分析】（1）先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x﹣2y 整体代入计算可得； （2）先利用整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 和 n 的值代入计算可得． 【解答】解：（1）原式＝（x2+y2﹣x2﹣2xy﹣y2+2x2﹣2xy）÷4x ＝（2x2﹣4xy）÷4x ＝ x﹣y， 当 x﹣2y＝2 时，原式＝ （x﹣2y）＝1； （2）原式＝m2n2﹣4﹣m2n2+2mn﹣1 ＝2mn﹣5， 当 m＝2，n＝ 时， 原式＝2×2× ﹣5 ＝2﹣5 ＝﹣3． 【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序 和运算法则． 18．【分析】（1）设调价百分率为 x，根据售价从原来每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元， 可列方程求解． （2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量． 【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是 x，依题意得： 40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；故这个降价率为 10%； （2）设降价 y 元， 根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000 解得：y＝0（舍去）或 y＝10， 答：在现价的基础上，再降低 10 元． 【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的量 为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2＝b． 19．【分析】（1）把 A（﹣1，n）代入 y＝﹣2x，可得 A（﹣1，2），把 A（﹣1，2）代入 y＝ ， 可得反比例函数的表达式为 y＝﹣ ，再根据点 B 与点 A 关于原点对称，即可得到 B 的坐标； （2）观察函数图象即可求解； （3）设 P（m，﹣ ），根据 S 梯形 MBPN＝S△POB＝1，可得方程 （2+ ）（m﹣1）＝1 或 （2+ ）（1﹣m）＝1，求得 m 的值，即可得到点 P 的横坐标． 【解答】解：（1）把 A（﹣1，n）代入 y＝﹣2x，可得 n＝2， ∴A（﹣1，2）， 把 A（﹣1，2）代入 y＝ ，可得 k＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为 y＝﹣ ， ∵点 B 与点 A 关于原点对称， ∴B（1，﹣2）． （2）∵A（﹣1，2）， ∴y≤2 的取值范围是 x＜﹣1 或 x＞0； （3）作 BM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N， ∵S 梯形 MBPN＝S△POB＝1， 设 P（m，﹣ ），则 （2+ ）（m﹣1）＝1 或 （2+ ）（1﹣m）＝1 整理得，m2﹣m﹣1＝0 或 m2+m+1＝0， 解得 m＝ 或 m＝ ，∴P 点的横坐标为 ． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函 数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． 20．【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三角形求出 CD， 进而解答即可； （2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出答案． 【解答】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， ∵AB⊥CD，sin30°＝ ，BC＝100 千米， ∴CD＝BC•sin30°＝100× ＝50（千米）， AC＝ ＝50 （千米）， AC+BC＝（100+50 ）千米， 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走（100+50 ）千米； （2）∵cos30°＝ ，BC＝100（千米）， ∴BD＝BC•cos30°＝100× ＝50 （千米），CD＝ BC＝50（千米）， ∵tan45°＝ ， ∴AD＝ ＝50（千米）， ∴AB＝AD+BD＝（50+50 ）千米， 答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走（50+50 ）千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角 形的问题，解决的方法就是作高线． 21．【分析】（1）由 B 级的人数和对应的百分比可求出总人数，再乘以 D 所占的百分比，即可求 出 D 对应的人数． （2）求出扇形统计图中“A”部分所占的百分比，再乘以 360 即可求出所对应的圆心角的度 数． （3）由样本估计总体的方法，求出样本中测试成绩合格以上（含合格）的百分比，再乘以总人 数即可解答． 【解答】解：（1）D（不合格）的人数有：80÷40%×5%＝10（人）； 等级 人数 A（优秀） 40 B（良好） 80 C（合格） 70 D（不合格） 10 （2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是：360°×（1﹣35%﹣5%﹣40%）＝72 °； 故答案为：72°； （3）根据题意得： 1200×（1﹣5%）＝1140（人）， 答：测试成绩合格以上（含合格）的人数有 1140 人． 【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．【分析】（1）由等边三角形的性质得到 AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，从而判 断出∠ABD＝∠OBC 即可；（2）过点 D 作 DH⊥y 轴，垂足为 H，延长 HD，过点 C 作 CG⊥HD，垂足为 G，由△ABO 和△ ACD 都是等腰直角三角形，得出∠ADC＝90°，AD＝CD，∠CDG＝∠DAH，从而得到△AHD≌△ DGC（AAS），根据 DH＝CG＝OH，点 D 的坐标为（x，y），得出 y 与 x 之间的关系是 y＝x； （3）过点 E 作 EM⊥x 轴，垂足为 M，则∠EMC＝∠COA＝90°，再利用正方形的性质即可得出△ EMC≌△COA（AAS），得到 MC＝OA＝1，EM＝OC，EM＝OC＝x+1，进而得出 y 与 x 之间的 关系是 y＝x+1． 【解答】解：（1）∵△AOB 和△BCD 都是等边三角形， ∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠OBC， 在△ABD 和△OBC 中， ， ∴△ABD 和△OBC； （2）如图，过点 D 作 DH⊥y 轴，垂足为 H，延长 HD，过点 C 作 CG⊥HD，垂足为 G． ∴∠AHD＝∠CGD＝90°， ∵△ABO 和△ACD 都是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADH+∠CDG＝90°， ∵∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠CDG＝∠DAH， ∵在△AHD 和△DGC 中， ， ∴△AHD≌△DGC（AAS）， ∴DH＝CG＝OH， ∵点 D 的坐标为（x，y）， ∴y 与 x 之间的关系是 y＝x； （3）过点 E 作 EM⊥x 轴，垂足为 M，则∠EMC＝∠COA＝90°，∵四边形 ACEF 是菱形，且∠ACE＝90°， ∴AC＝CE，∠ACO+∠ECO＝90°， ∵∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠ECO＝∠CAO， 在△EMC 和△COA 中， ， ∴△EMC≌△COA（AAS）， ∴MC＝OA＝1，EM＝OC， ∵点 E 的坐标为（x，y）， ∴EM＝OC＝x+1， ∴y 与 x 之间的关系是 y＝x+1． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的 性质和判定的综合应用，解本题的关键是判定三角形全等，根据全等三角形的对应边相等进行推导．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解． 23．【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①连接 CD，则可知 CD∥x 轴，由 A、F 的坐标可知 F、A 到 CD 的距离，利用三角形面积 公式可求得△ACD 和△FCD 的面积，则可求得四边形 ACFD 的面积；②由题意可知点 A 处不可 能是直角，则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得直线 AD 解析式， 则可求出直线 DQ 解析式，联立直线 DQ 和抛物线解析式则可求得 Q 点坐标；当∠AQD＝90°时， 设 Q（t，﹣t2+2t+3），设直线 AQ 的解析式为 y＝k1x+b1，则可用 t 表示出 k′，设直线 DQ 解析 式为 y＝k2x+b2，同理可表示出 k2，由 AQ⊥DQ 则可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，即可求得 Q 点坐标． 【解答】解： （1）由题意可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4）， ∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD＝2，且 CD∥x 轴， ∵A（﹣1，0）， ∴S 四边形 ACFD＝S△ACD+S△FCD＝ ×2×3+ ×2×（4﹣3）＝4； ②∵点 P 在线段 AB 上， ∴∠DAQ 不可能为直角， ∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°， i．当∠ADQ＝90°时，则 DQ⊥AD， ∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线 AD 解析式为 y＝x+1， ∴可设直线 DQ 解析式为 y＝﹣x+b′， 把 D（2，3）代入可求得 b′＝5， ∴直线 DQ 解析式为 y＝﹣x+5， 联立直线 DQ 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，∴Q（1，4）； ii．当∠AQD＝90°时，设 Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线 AQ 的解析式为 y＝k1x+b1， 把 A、Q 坐标代入可得 ，解得 k1＝﹣（t﹣3）， 设直线 DQ 解析式为 y＝k2x+b2，同理可求得 k2＝﹣t， ∵AQ⊥DQ， ∴k1k2＝﹣1，即 t（t﹣3）＝﹣1，解得 t＝ ， 当 t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ， 当 t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ， ∴Q 点坐标为（ ， ）或（ ， ）； 综上可知 Q 点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角 三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四 边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中．