2019年山东省泰安市新泰市中部联盟中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分）
1．计算（﹣1）2+20﹣|﹣3|的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．5
2．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.827×1014 B．82.7×1012 C．8.27×1013 D．8.27×1014
3．某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
4．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（ ）
A．2πcm2 B．4πcm2 C．8πcm2 D．16πcm2
7．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣
1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947）（ ）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，下列结论：
①b2＞4ac；②ac＞0； ③当x＞1时，y随x的增大而减小； ④3a+c＞0；⑤任意实数m，a+b≥am2+bm．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
10．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
12．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分22分）
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m
的取值范围是 ．
14．化简：＝ ．
15．当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．
16．在同一坐标系内，直线y1＝x﹣3与双曲线y2＝相交于点A和点B，则y1＜y2时自变量x的取值范围是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B平分线段AF；②PF＝DE；③∠BEF＝∠FEC；④S矩形ABCD＝4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．
其中正确结论的序号是 ．
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ ．
三、解答题
19．先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
21．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
22．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．
（1）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：AC平分∠ECF；
（3）求证：CE＝2AF．
23．雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表：
品名
价格
甲型口罩
乙型口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
36
（1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？
24．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE＝DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF•GF＝28时，请直接写出CE的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
2019年山东省泰安市新泰市中部联盟中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分）
1．计算（﹣1）2+20﹣|﹣3|的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．5
【分析】根据零指数幂、乘方、绝对值三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1+1﹣3
＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．
2．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.827×1014 B．82.7×1012 C．8.27×1013 D．8.27×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：82.7万亿＝8.27×1013，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
【分析】根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，
则中位数是＝6；
平均数是：＝6；
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
4．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2＝﹣1，
解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；
当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2＝﹣1，
解得：h3＝4（舍去），h4＝6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（ ）
A．2πcm2 B．4πcm2 C．8πcm2 D．16πcm2
【分析】
由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可．
【解答】解：依题意知母线l＝4cm，底面半径r＝2÷2＝1，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×1×4＝4πcm2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
7．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947）（ ）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN＝30×2＝60（海里），
∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°，
∴∠MNP＝∠MNC+∠CNP＝136°，
∵∠BMP＝68°，
∴∠PMN＝90°﹣∠BMP＝22°，
∴∠MPN＝180°﹣∠PMN﹣∠PNM＝22°，
∴∠PMN＝∠MPN，
∴MN＝PN＝60（海里），
∵∠CNP＝46°，
∴∠PNA＝44°，
∴PA＝PN•sin∠PNA＝60×0.6947≈41.68（海里）
故选：B．
【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，下列结论：
①b2＞4ac；②ac＞0； ③当x＞1时，y随x的增大而减小； ④3a+c＞0；⑤任意实数m，a+b≥am2+bm．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点可知：△＞0，可作判断；
②由抛物线的位置易判断a，c的符号，可作判断；
③根据抛物线的增减性和最值即可判断；
④再由对称性可求得抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），容易判断；
⑤根据抛物线的增减性和最值即可判断．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
②∵开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故②错误；
③由图象和二次函数图象的对称轴是x＝1，可得当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确，
④∵二次函数y＝ax2+bx+c过点A （3，0），对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
故④错误；
⑤∵二次函数图象的对称轴是x＝1，且开口向下，
∴当x＝1时，y最大，
∴任意实数m，a+b+c≥am2+bm+c．
即任意实数m，a+b≥am2+bm．
故⑤正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查二次函数图象与系数的关系及抛物线的对称性、最值问题，掌握a、b、c与二次函数的图象的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
10．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
【点评】
本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
11．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′＝60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B＝120°，得到∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B＝120°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）＝×1×2﹣（﹣×2×）＝2﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，故①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，故②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；
∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分22分）
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 3＜m≤5 ．
【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
【解答】解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
14．化简：＝ x﹣1 ．
【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15．当m＝ 2 时，解分式方程＝会出现增根．
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【解答】解：分式方程可化为：x﹣5＝﹣m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x＝3时，3﹣5＝﹣m，解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．在同一坐标系内，直线y1＝x﹣3与双曲线y2＝相交于点A和点B，则y1＜y2时自变量x的取值范围是 x＜0或1＜x＜2 ．
【分析】先将直线与双曲线的解析式联立得到方程组，解方程组求出它们的交点坐标，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，根据图象找出直线落在双曲线下方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由，解得，或，
所以直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象交于点A（1，﹣2），B（2，﹣1）．
如图所示：
根据图象可知，y1＜y2时自变量x的取值范围是x＜0或1＜x＜2．
故答案为x＜0或1＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．也考查了函数的图象以及数形结合思想．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B平分线段AF；②PF＝DE；③∠BEF＝∠FEC；④S矩形ABCD＝4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．
其中正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB＝∠ABE，可求得AE＝AB＝2，在Rt△ADE中可求得DE＝1，则EC＝1，又可证明△PEC∽△PBF，可求得BF＝2，可判定①；在Rt△PBF中可求得PF，可判定②；在Rt△BCE中可求得BE＝2，可得∠BEF＝∠F，可判定③；容易计算出S矩形ABCD和S△BPF；可判定④；由AE＝AB＝BE可判定⑤；可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CEB＝∠ABE，
又∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，AD＝，AE＝2，由勾股定理可求得DE＝1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣1＝1，
∵DC∥AB，
∴△PCE∽△PBF，
∴＝，即＝＝，
∴BF＝2，
∴AB＝BF，
∴点B平分线段AF，
故①正确；
∵BC＝AD＝，
∴BP＝，
在Rt△BPF中，BF＝2，由勾股定理可求得PF＝＝＝，
∵DE＝1，
∴PF＝DE，
故②正确；
在Rt△BCE中，EC＝1，BC＝，由勾股定理可求得BE＝2，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠F，
又∵AB∥CD，
∴∠FEC＝∠F，
∴∠BEF＝∠FEC，
故③正确；
∵AB＝2，AD＝，
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝2×＝2，
∵BF＝2，BP＝，
∴S△BPF＝BF•BP＝×2×＝，
∴4S△BPF＝，
∴S矩形ABCD＝≠4S△BPF，
故④不正确；
由上可知AB＝AE＝BE＝2，
∴△AEB为正三角形，
故⑤正确；
综上可知正确的结论为：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定等知识点的综合应用．根据条件求得AE＝AB，求得DE的长是解题的关键，从而可求得BF、PF、BE等线段的长容易判断②③④⑤．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．在解题时注意勾股定理的灵活运用．
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝ 2 ．
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．
【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
三、解答题
19．先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
由x2﹣2x﹣5＝0，得到x2﹣2x＝5，
则原式＝5．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；
（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
【分析】（1）将y＝3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
（2）平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF，设平移后的解析式为y＝﹣x+b，由平行线的性质可得出S△ABC＝S△ABF，结合正、反比例函数的对称性以及点A的坐标，即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝3，则3＝﹣x，
解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，3）．
∵点A（﹣6，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣6×3＝﹣18，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．
设平移后的解析式为y＝﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABC＝S△ABF，
∵△ABC的面积为48，
∴S△ABF＝OF•（xB﹣xA）＝48，
由对称性可知：xB＝﹣xA，
∵xA＝﹣6，
∴xB＝6，
∴b×12＝48，
∴b＝8．
∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+8．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于b的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用面积法要比找相似三角形简单明了的多．
22．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．
（1）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：AC平分∠ECF；
（3）求证：CE＝2AF．
【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACE＝∠AEC＝45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB＝∠AEC＝45°，推出∠ACB＝∠ACE即可；
（3）过点A作AG⊥CG，垂足为点G，求出AF＝AG，求出CG＝AG＝GE，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴；
（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF；
（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
23．雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表：
品名
价格
甲型口罩
乙型口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
36
（1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？
【分析】（1）分别根据用12000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2700元，得出等式组成方程求出即可；
（2）根据购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于2460元，得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，
则，
解得：，
答：该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋；
（2）设每袋乙种型号的口罩打m折，则
300×5+400（0.1m×36﹣30）≥2460，
解得：m≥9，
答：每袋乙种型号的口罩最多打9折．
【点评】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用及一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE＝DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF•GF＝28时，请直接写出CE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE＝∠DEC，进而得出DE＝DC；
（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出∠DFC＝90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF＝CF＝EF＝EC，再根据SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB＝∠DFC＝90°，据此可得AF⊥BF；
（3）根据等角的余角相等可得∠BAF＝∠FEH，再根据公共角∠EFG＝∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，进而得出EF2＝AF•GF＝28，求得EF＝2，即可得到CE＝2EF＝4．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC；
（2）如图，连接DF，
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，
∴BF＝CF＝EF＝EC，
∴∠ABF＝∠CEB，
∵∠DCE＝∠CEB，
∴∠ABF＝∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF；
（3）CE＝4．
理由如下：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵EH∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BEH＝90°，
∴∠FEH+∠CEB＝90°，
∵∠ABF＝∠CEB，
∴∠BAF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠AFE，
∴△EFG∽△AFE，
∴＝，即EF2＝AF•GF，
∵AF•GF＝28，
∴EF＝2，
∴CE＝2EF＝4．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；
【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣ n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE•OQ，
∴1＝•OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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