2019年安合肥市包河区中考数学一模试题(带解析)
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资料简介
2019 年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷 一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分) 1.|﹣2|=(  ) A.0 B.﹣2 C.2 D.1 2.计算(﹣p)8•(﹣p2)3•[(﹣p)3]2 的结果是(  ) A.﹣p20 B.p20 C.﹣p18 D.p18 3.十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值 从 54 万亿元增长 80 万亿元,稳居世界第二,其中 80 万亿用科学记数法表示为(  ) A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013 4.从图 1 的正方体上截去一个三棱锥,得到一个几何体,如图 2.从正面看图 2 的几何体,得到的 平面图形是(  ) A. B. C. D. 5.下列因式分解正确的是(  ) A.x2﹣xy+x=x(x﹣y) B.a3+2a2b+ab2=a(a+b)2 C.x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3 D.ax2﹣9=a(x+3)(x﹣3) 6.一元二次方程 2x2﹣2x﹣1=0 的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间(  ) A.4,3 B.3,2 C.2,1 D.1,0 7.如图是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图,则该班共有学生人数是 (  )A.8 B.10 C.12 D.40 8.如图,△ABC 中,BC=4,⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切.若⊙P 半径为 2,△ABC 的面 积为 5,则△ABC 的周长为(  ) A.8 B.10 C.13 D.14 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为 30°,则这个等腰三角形的顶角为(  ) A.60°或 120° B.30°或 150° C.30°或 120° D.60° 10.如图,一次函数 y1=ax+b 图象和反比例函数 y2= 图象交于 A(1,2),B(﹣2,﹣1)两点, 若 y1<y2,则 x 的取值范围是(  ) A.x<﹣2 B.x<﹣2 或 0<x<1 C.x<1 D.﹣2<x<0 或 x>1 二.填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分) 11.已知 a 为实数,那么 等于   . 12.化简: =   .13.如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 的延长线交⊙O 于点 C,连接 BC,若∠ABC=120°,OC=3 ,则弧 BC 的长为   (结果保留 π). 14.如图,在△ABC 中,若 AB=AC,BC=2BD=6,DE⊥AC,则 AC•EC 的值是   . 三.解答题(共 2 小题,满分 16 分,每小题 8 分) 15.计算:(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣3) 16.桑植县为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,保护生态环境,某村计划在荒山上植树 1200 棵,实际每天植树的数量是原计划的 1.5 倍,结果比原计划提前了 5 天完成任务,求原计划每天 植树多少棵? 四.解答题(共 2 小题,满分 16 分,每小题 8 分) 17.在 4×4 的方格中,△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图 1 中画出与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形(画出一个即可); (2)在图 2、图 3 中各作一格点 D,使得△ACD∽△DCB,并请连结 AD、CD、BD. 18.如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳 BC 与地面保持垂直,吊臂 AB 与水平线的夹角为 64 °,吊臂底部 A 距地面 1.5m.(计算结果精确到 0.1m,参考数据 sin64°≈0.90,cos64°≈0.44, tan64°≈2.05) (1)当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时,吊臂 AB 的长为   m. (2)如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩 的长度与货物的高度忽略不计)五.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 19.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点 P 从点 A 出发,以 1cm/s 的速度向点 D 运动;动点 Q 从点 C 同时出发,以 3cm/s 的速度向点 B 运 动.规定当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 t,求: (1)当 t 为何值时,PQ∥CD? (2)当 t 为何值时,PQ=CD? 20.矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点 B 的坐标为(6,8),D 是 OA 的中点, 点 E 在 AB 上,当△CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标. 六.解答题(共 1 小题,满分 12 分,每小题 12 分) 21.钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况,随机抽取 了部分学生进行问卷调查,在此次调查中,甲、乙两班分别有 2 人特别喜爱阅读科技书报,若从 这 4 人中随机抽取 2 人去参加科普比赛活动,请用列表法或画树状图的方法,求所抽取的 2 人来 自不同班级的概率. 七.解答题(共 1 小题,满分 12 分,每小题 12 分) 22.某公司生产的某种产品每件成本为 40 元,经市场调查整理出如下信息: ①该产品 90 天内日销售量(m 件)与时间(第 x 天)满足一次函数关系,部分数据如下表:时间(第 x 天) 1 3 6 10 … 日销售量(m 件) 198 194 188 180 … ②该产品 90 天内每天的销售价格与时间(第 x 天)的关系如下表: 时间(第 x 天) 1≤x<50 50≤x≤90 销售价格(元/件) x+60 100 (1)求 m 关于 x 的一次函数表达式; (2)设销售该产品每天利润为 y 元,请写出 y 关于 x 的函数表达式,并求出在 90 天内该产品哪 天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于 5400 元,请直接写出结果. 八.解答题(共 1 小题,满分 14 分,每小题 14 分) 23.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,AD=AE,连接 DC,点 M,P,N 分别为 DE,DC,BC 的中点. (1)观察猜想: 图 1 中,线段 PM 与 PN 的数量关系是   ,位置关系是   ; (2)探究证明: 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接 MN,BD,CE,判断△PMN 的形 状,并说明理由; (3)拓展延伸: 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10,请直接写出△PMN 面积的最 大值.2019 年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分) 1.【分析】根据绝对值的定义进行填空即可. 【解答】解:|﹣2|=2, 故选:C. 【点评】本题考查了绝对值,掌握绝对值的定义是解题的关键. 2.【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案. 【解答】解:(﹣p)8•(﹣p2)3•[(﹣p)3]2 =p8•(﹣p6)•p6 =﹣p20. 故选:A. 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键. 3.【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对 值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:80 万亿用科学记数法表示为 8×1013. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 【解答】解:从正面看是 , 故选:D. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图. 5.【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式,进而分析即可. 【解答】解:A、x2﹣xy+x=x(x﹣y+1),故此选项错误; B、a3+2a2b+ab2=a(a+b)2,正确;C、x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3,不是因式分解,故此选项错误; D、ax2﹣9,无法分解因式,故此选项错误; 故选:B. 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键. 6.【分析】先求出方程的解,再求出的范围,最后即可得出答案. 【解答】解:解方程 2x2﹣2x﹣1=0 得:x= , 设 a 是方程 2x2﹣2x﹣1=0 较大的根, ∴a= , ∵1< <2, ∴2<1+ <3,即 1<a< . 故选:C. 【点评】本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目, 难度适中. 7.【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例,求出总人数. 【解答】解:该班的学生总人数为 20÷50%=40(人), 故选:D. 【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部 分所对应的扇形圆心角的度数与 360°的比. 8.【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案. 【解答】解:连接 PE、PF、PG,AP, 由题意可知:∠PEC=∠PFA=PGA=90°, ∴S△PBC= BC•PE= ×4×2=4, ∴由切线长定理可知:S△PFC+S△PBG=S△PBC=4, ∴S 四边形 AFPG=S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC=5+4+4=13, ∴由切线长定理可知:S△APG= S 四边形 AFPG= , ∴ = ×AG•PG, ∴AG= ,由切线长定理可知:CE=CF,BE=BG, ∴△ABC 的周长为 AC+AB+CE+BE =AC+AB+CF+BG =AF+AG =2AG =13, 故选:C. 【点评】本题考查切线长定理,解题的关键是画出辅助线,熟练运用切线长定理,本题属于中等 题型. 9.【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的 边上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了,因而应分两种情况进行讨论. 【解答】解:当高在三角形内部时(如图 1),顶角是 60°; 当高在三角形外部时(如图 2),顶角是 120°. 故选:A. 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题 的关键,本题易出现的错误是只是求出 60°一种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形.因此 此题属于易错题. 10.【分析】当 y1<y2 时,存在不等式 ax+b< ,不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图 象下方时,所对应的自变量 x 的取值范围. 【解答】解:∵A(1,2),B(﹣2,﹣1), ∴由图可得,当 y1<y2 时,x 的取值范围是 x<﹣2 或 0<x<1,故选:B. 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,从函数的角度看,就是寻求使一次函 数值大于(或小于)反比例函数值的自变量 x 的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线 在双曲线上方(或下方)部分所有的点的横坐标所构成的集合. 二.填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分) 11.【分析】根据非负数的性质,只有 a=0 时, 有意义,可求根式的值. 【解答】解:根据非负数的性质 a2≥0,根据二次根式的意义,﹣a2≥0, 故只有 a=0 时, 有意义, 所以, =0. 故填:0. 【点评】本题考查了算术平方根.注意:平方数和算术平方根都是非负数,这是解答此题的关键 . 12.【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法,继而约分即可得. 【解答】解:原式=( ﹣ )• = • = • =x﹣1, 故答案为:x﹣1. 【点评】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 . 13.【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°,求出∠OBC,根据三角形内角和定理求出∠BOC= 120°,根据弧长公式计算即可.【解答】解:连接 OB, ∵AB 与⊙O 相切于点 B, ∴∠OBA=90°, ∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=30°, ∵OB=OC, ∴∠C=∠B=30°, ∴∠BOC=120°, ∴弧 BC 的长= =2π, 故答案为:2π. 【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的 计算公式是解题的关键. 14.【分析】由等腰三角形的性质得到 AD⊥BC,然后根据“两角法”证得△CDE∽△CAD,所以 由该相似三角形的对应边成比例求得答案. 【解答】解:如图,∵在△ABC 中,若 AB=AC,BC=2BD=6, ∴AD⊥BC,CD=BD=3. 又 DE⊥AC, ∴∠CED=∠CDA=90°. ∵∠C=∠C, ∴△CDE∽△CAD. ∴ = ,即 AC•EC=CD2=9. 故答案是:9. 【点评】考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形性质.本题关键是要懂得找相似三角形, 利用相似三角形的性质求解. 三.解答题(共 2 小题,满分 16 分,每小题 8 分) 15.【分析】原式利用完全平方公式,以及平方差公式计算即可求出值. 【解答】解:(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣3)=x2﹣4x+4﹣(x2﹣9) =x2﹣4x+4﹣x2+9 =﹣4x+13. 【点评】此题考查了平方差公式,以及完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 16.【分析】设原计划每天植树 x 棵,则实际每天植树 1.5x 棵,根据工作时间=工作总量÷工作效 率结合实际比原计划提前了 5 天完成任务,即可得出关于 x 的分式方程,解之经检验后即可得出 结论. 【解答】解:设原计划每天植树 x 棵,则实际每天植树 1.5x 棵, 根据题意得: ﹣ =5, 解得:x=80, 经检验,x=80 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天植树 80 棵. 【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 四.解答题(共 2 小题,满分 16 分,每小题 8 分) 17.【分析】(1)利用相似三角形的性质得出答案; (2)利用相似三角形的性质得出 D 点位置. 【解答】解:(1)如图所示: (2)如图所示:△ACD∽△DCB. 【点评】此题主要考查了相似变换,正确得出对应点位置是解题关键. 18.【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可; (2)过点 D 作 DH⊥地面于 H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可. 【解答】解:(1)在 Rt△ABC 中, ∵∠BAC=64°,AC=5m, ∴AB= (m);故答案为:11.4; (2)过点 D 作 DH⊥地面于 H,交水平线于点 E, 在 Rt△ADE 中, ∵AD=20m,∠DAE=64°,EH=1.5m, ∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18(m), 即 DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m), 答:如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.5m. 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识,解题的关键是添加辅助线,构造直角三 角形,记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型. 五.解答题(共 2 小题,满分 20 分,每小题 10 分) 19.【分析】(1)由当 PQ∥CD 时,四边形 PQCD 为平行四边形,可得方程 24﹣t=3t,解此方程 即可求得答案; (2)根据 PQ=CD,一种情况是:四边形 PQCD 为平行四边形,可得方程 24﹣t=3t,一种情况 是:四边形 PQCD 为等腰梯形,可求得当 QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE,即 3t=(24﹣t) +4 时,四边形 PQCD 为等腰梯形,解此方程即可求得答案. 【解答】解:根据题意得:PA=t,CQ=3t,则 PD=AD﹣PA=24﹣t, (1)∵AD∥BC,即 PD∥CQ, ∴当 PD=CQ 时,四边形 PQCD 为平行四边形, ∴PQ∥CD, 即 24﹣t=3t, 解得:t=6, 即当 t=6 时,PQ∥CD; (2)若要 PQ=CD,分为两种情况: ①当四边形 PQCD 为平行四边形时,即 PD=CQ 24﹣t=3t, 解得:t=6, ②当四边形 PQCD 为等腰梯形时, 即 CQ=PD+2(BC﹣AD) 3t=24﹣t+4 解得:t=7, 即当 t=6 或 t=7 时,PQ=CD. 【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判 定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用. 20.【分析】如图,作点D 关于直线 AB 的对称点 H,连接 CH 与 AB 的交点为 E,此时△CDE 的周 长最小,先求出直线 CH 解析式,再求出直线 CH 与 AB 的交点即可解决问题. 【解答】解:如图,作点 D 关于直线 AB 的对称点 H,连接 CH 与 AB 的交点为 E,此时△CDE 的周长最小. ∵D(3,0),A(6,0), ∴H(9,0), ∴直线 CH 解析式为 y=﹣ x+8, ∴x=6 时,y= , ∴点 E 坐标(6, ). 【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识,解题 的关键是利用轴对称找到点 E 位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型. 六.解答题(共 1 小题,满分 12 分,每小题 12 分) 21.【分析】根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.【解答】解:将两班报名的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2, 树状图如图所示: 由树状图知共有 12 种等可能结果,其中抽取的 2 人来自不同班级的有 8 种结果, 所以抽取的 2 人来自不同班级的概率为 = . 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n,再 从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,求出概率. 七.解答题(共 1 小题,满分 12 分,每小题 12 分) 22.【分析】(1)根据待定系数法解出一次函数解析式即可; (2)设利润为 y 元,则当 1≤x<50 时,y=﹣2x2+160x+4000;当 50≤x≤90 时,y=﹣120x+12000 ,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论; (3)根据 1≤x<50 和 50≤x≤90 时,由 y≥5400 求得 x 的范围,据此可得销售利润不低于 5400 元的天数. 【解答】解:(1)∵m 与 x 成一次函数, ∴设 m=kx+b,将 x=1,m=198,x=3,m=194 代入,得: , 解得: . 所以 m 关于 x 的一次函数表达式为 m=﹣2x+200; (2)设销售该产品每天利润为 y 元,y 关于 x 的函数表达式为:y= , 当 1≤x<50 时,y=﹣2x2+160x+4000=﹣2(x﹣40)2+7200, ∵﹣2<0, ∴当 x=40 时,y 有最大值,最大值是 7200; 当 50≤x≤90 时,y=﹣120x+12000, ∵﹣120<0, ∴y 随 x 增大而减小,即当 x=50 时,y 的值最大,最大值是 6000; 综上所述,当 x=40 时,y 的值最大,最大值是 7200, 即在 90 天内该产品第 40 天的销售利润最大,最大利润是 7200 元; (3)当 1≤x<50 时,由 y≥5400 可得﹣2x2+160x+4000≥5400, 解得:10≤x≤70, ∵1≤x<50, ∴10≤x<50; 当 50≤x≤90 时,由 y≥5400 可得﹣120x+12000≥5400, 解得:x≤55, ∵50≤x≤90, ∴50≤x≤55, 综上,10≤x≤55, 故在该产品销售的过程中,共有 46 天销售利润不低于 5400 元. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关 系,结合 x 的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质. 八.解答题(共 1 小题,满分 14 分,每小题 14 分) 23.【分析】(1)利用三角形的中位线得出 PM= CE,PN= BD,进而判断出 BD=CE,即可 得出结论,再利用三角形的中位线得出 PM∥CE 得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论 ; (2)先判断出△ABD≌△ACE,得出 BD=CE,同(1)的方法得出 PM= BD,PN= BD,即 可得出 PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;(3)方法 1:先判断出 MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出 AN,AM,即可得出 MN 最 大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法 2:先判断出 BD 最大时,△PMN 的面积最大 ,而 BD 最大是 AB+AD=14,即可得出结论. 【解答】解:(1)∵点 P,N 是 BC,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN= BD, ∵点 P,M 是 CD,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM= CE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴BD=CE, ∴PM=PN, ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA, ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°, ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°, ∴PM⊥PN, 故答案为:PM=PN,PM⊥PN; (2)△PMN 是等腰直角三角形. 由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE, 利用三角形的中位线得,PN= BD,PM= CE, ∴PM=PN, ∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC, ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC, ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°, ∴△PMN 是等腰直角三角形; (3)方法 1:如图 2,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面, ∴MN 最大=AM+AN, 连接 AM,AN, 在△ADE 中,AD=AE=4,∠DAE=90°, ∴AM=2 , 在 Rt△ABC 中,AB=AC=10,AN=5 , ∴MN 最大=2 +5 =7 , ∴S△PMN 最大= PM2= × MN2= ×(7 )2= . 方法 2:由(2)知,△PMN 是等腰直角三角形,PM=PN= BD, ∴PM 最大时,△PMN 面积最大, ∴点 D 在 BA 的延长线上, ∴BD=AB+AD=14, ∴PM=7, ∴S△PMN 最大= PM2= ×72= .【点评】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和 性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出 PM= CE,PN= BD,解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE,解(3)的关键是判断出 MN 最大 时,△PMN 的面积最大.

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