2019版八年级数学下册第一章三角形的证明试题（新版）北师大版.doc

第一章　三角形的证明 ‎　　1.等腰三角形的性质与判定的应用 ‎(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等 ‎【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.‎ ‎(1)求证：∠FMC=∠FCM.‎ ‎(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.‎ ‎【信息解读·破译解题秘钥】‎ 信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；‎ 信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；‎ 信息③直译为：AF=EF；‎ 破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.‎ 破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.‎ 信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.‎ 信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.‎ 破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.‎ ‎【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，‎ ‎∴DF⊥AE，DF=AF=EF.‎ 又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.‎ 又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.‎ ‎∴∠FMC=∠FCM.‎ ‎(2)AD⊥MC.‎ 理由如下：如图，延长AD交MC于点G.‎ 由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.‎ 17‎ ‎∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.‎ ‎(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.‎ ‎【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.‎ ‎【标准解答】∵AD平分∠EDC，‎ ‎∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，‎ ‎∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.‎ ‎(3)等边三角形的性质与判定 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.‎ ‎【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.‎ ‎(1)求证：CE=BF.‎ ‎(2)求∠BPC的度数.‎ ‎【信息解读·破译解题秘钥】‎ 条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④；‎ 条件②直译为：BE=AF⑤，‎ 破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，‎ 破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.‎ 信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；‎ 破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，‎ ‎∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，‎ 17‎ 破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60，‎ 破译：整合信息⑩⑪得到：‎ ‎∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)‎ ‎=180°-60°=120°.‎ ‎【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，‎ 在△BCE与△ABF中，‎ ‎∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.‎ ‎(2)由(1)知△BCE≌△ABF，‎ ‎∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠BPC=180°-60°=120°.‎ ‎1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转 ‎60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是(　　)‎ A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9‎ ‎2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.‎ 17‎ ‎　　2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.‎ ‎(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.‎ ‎【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为(　　)‎ A.55°，55°　　　　　　　 B.70°，40°‎ C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对 ‎【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；‎ 当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°.‎ ‎(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.‎ ‎【例2】如果等腰三角形两边长是‎6cm和‎3cm，那么它的周长是(　　)‎ A‎.9 cm B‎.12 cm C‎.15 cm或‎12 cm D‎.15 cm ‎【标准解答】选D.当6为腰，3为底时，6-3