第三章 图形的平移与旋转
1.图形的平移
(1)求平移后点的坐标
①在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b)).
②在平面直角坐标系中，如果把一个图形的各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把一个图形的各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
【例1】将点A(2，1)向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是( )
A.(0，1) B.(2，-1)
C.(4，1) D.(2，3)
【标准解答】选A.向左平移2个单位长度，纵坐标不变，横坐标为：2-2=0，所以平移后的点的坐标为(0，1).
(2)计算平移中线段和角的大小
把图形进行平移，图形的大小和形状不发生改变，正确找到变换前后的对应角和对应线段，是做题的关键，然后按照对应角相等，对应线段相等解决问题.
【例2】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=3，CB1=2，则CC1=________.
【标准解答】根据平移的性质可知，对应线段相等，即B1C1=BC=3，
∴CC1=B1C1-CB1=3-2=1.
答案：1
(3)作出平移后的图形
首先找出原图形的关键点，然后利用平移的坐标规律分别求出各自的对应点，最后按照关键点的顺序，把它们的对应点连接起来.
【例3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(-2，5)，B(-4，3)，C(-1，1).
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作出△ABC向右平移5个单位长度的△A1B1C1.
【标准解答】选点A，点B，点C为关键点。把图形向右平移5个单位长度，每个点的横坐标加5，纵坐标不变，所以它们的对应点分别是：A1(3，5)，B1(1，3)，C1(4，1)，分别把这三点连接起来即可，如图：
【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出
△A1B1C1：将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
△A1B1C1.
【标准解答】选点A，点B，点C为关键点.分别把这三个点向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到各自的对应点，连接得到的对应点即可.如图：
1.点P(-2，-3)向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得到的点的坐标为( )
A.(-3，0) B.(-1，6)
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C.(-3，-6) D.(-1，0)
2.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点
A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A.(4，2) B.(3，3)
C.(4，3) D.(3，2)
3.如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5，EC=3，那么平移的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
2.图形的旋转
(1)求旋转角的方法
【例】如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′为( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
【标准解答】选C.由题意，得AC=AC′，∠CAC′=∠BAB′.∵∠CAB=70°，
CC′∥AB，∴∠ACC′=70°∵AC=AC′，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°.
∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=40°，
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∴∠BAB′=∠CAC′=40°.
如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )
A.30° B.45° C.90° D.135°
(2)作旋转变换图形的方法
在原图形中找出关键点，然后作出所有关键点的对应点，最后按照关键点的顺序，把它们的对应点连接起来，就形成了新的图形.
【例】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上，画出△ABO绕着点O逆时针旋转90°后得到的三角形.
【标准解答】△ABO的三个顶点就是关键点.
(1)在OB的垂线上且在旋转方向上截取OD=OB=4，则点B的对应点是点D；
(2)画OA的垂线，并在旋转方向上截取OE=OA，则点A的对应点是点E；
(3)顺次连接OE，ED，DO，则△ODE就是所求作的三角形.
利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：
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(1)图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕O点按顺时针旋转90°.
(2)完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于________.
(3)运用旋转的性质解题的规律
利用旋转的性质可以用来证明线段或角是否相等，有两种情况：①所有的旋转角相等；所有对应点与旋转中心的连线相等.②利用旋转前后图形的形状、大小都相同可得对应角、对应线段相等.
【例】如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O画任意一条与AC，BD相交的直线EF，交点分别为E和F.请探索线段OE和OF之间有什么关系.
【标准解答】相等.将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，所以△AOC≌△DOB，所以OB=OC，∠B=∠C.又∠BOF=∠COF，那么△BOF≌△COE，所以OE=OF.
如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC=120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数.
(2)求证：∠A1AC=∠C1.
3.中心对称
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(1)判断中心对称图形常用的两个方法
①操作法：把图形绕着某一点旋转180°，能够和原来图形重合，只要找到这样的点，那么此图形就是中心对称图形.
②观察、想象法：通过观察、目测，能够找到对称中心，则此图形就是中心对称图形.
【例】下列图形中是中心对称图形的是( )
【标准解答】选D.根据实验操作或观察想象可知：A图形为旋转对称图形.B图形为平移得到的.C图形为轴对称图形.
下列四个图案中，属于中心对称图形的是( )
(2)作已知图形关于某一点对称图形的方法
对称中心是对应点所连线段的中点，利用这一特性可以找到一些特殊点的对应点，顺次连接这些对应点，就得到原图形关于这点的对称图形.
【例】画图题：如图，将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1.请你画出旋转后的△A1B1C1.
【标准解答】
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，2)，B(-1，4)，C(0，2).
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(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C.
(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(-5，-2)，画出平移后的△A2B2C2.
(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标.
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跟踪训练答案解析
1.图形的平移
【跟踪训练】
1.【解析】选A.点P(-2，-3)向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得(-2-1，-3+3)，
即(-3，0).
2.【解析】选A.如图，作AM⊥x轴于点M.
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=OA=1，
AM=OM=，∴A(1，)，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴当x=3时，y=3，∴A′(3，3)，
∴将点A向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得A′，
∴将点B(2，0)向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得B′，
∴点B′的坐标为(4，2).
3.【解析】选A.平移的距离为BE=BC-EC=5-3=2.
2.图形的旋转
(1)求旋转角的方法
【跟踪训练】
【解析】选C.由题意知，B与D是对应点，可确定旋转角为∠BOD，且∠BOD=
90°.
(2)作旋转变换图形的方法
【跟踪训练】
【解析】(1)如图所示：
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(2)面积：
×4=20.
答案：20
(3)运用旋转的性质解题的规律
【跟踪训练】
【解析】(1)旋转角的度数为60°.
(2)∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1=180°.
∵∠ABC=∠A1BC1=120°，
∴∠ABA1=∠CBC1=60°，∴∠A1BC=60°，
又AB=A1B，所以△ABA1是等边三角形，
∴∠AA1B=∠A1BC=60°，∴AA1∥BC，
∴∠A1AC=∠C.
∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C=∠C1，
∴∠A1AC=∠C1.
3.中心对称
(1)判断中心对称图形常用的两个方法
【跟踪训练】
【解析】选D.A.不是中心对称图形，故本选项错误；
B.不是中心对称图形，故本选项错误；
C.不是中心对称图形，故本选项错误；
D.是中心对称图形，故本选项正确.
(2)作已知图形关于某一点对称图形的方法
【跟踪训练】
【解析】(1)如图.
(2)如图.(3)旋转中心坐标为(-1，0).
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