第四章 因式分解
1.因式分解的方法
名称
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
公式
ma+mb+mc
=m(a+b+c)
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
项数
最少两项
两项
三项
适用
条件
有公因式
平方差形式
(1)两项.
(2)每项都是平方的形式.(3)两项符号相反
完全平方形式(1)三项.
(2)两项是平方的形式.
(3)另一项是两数乘积的二倍
【例1】分解因式：2x2-6x=________.
【标准解答】两项中都含有公因式2x，提取公因式2x得2x2-6x=2x(x-3).
答案：2x(x-3)
【例2】分解因式：4x2-1=________.
【标准解答】4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1).
答案：(2x+1)(2x-1)
【例3】分解因式：(a+b)3-4(a+b)=________.
【标准解答】(a+b)3-4(a+b)
=(a+b)
=(a+b)(a+b+2)(a+b-2).
答案：(a+b)(a+b+2)(a+b-2)
【例4】分解因式：a3-10a2+25a=________.
【标准解答】a3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2.
答案：a(a-5)2
【例5】分解因式：(2a-b)2+8ab =________.
【标准解答】(2a-b)2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2.
答案：(2a+b)2
1.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
7
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
2.分解因式：(x+3)2-(x+3)=________.
3.在实数范围内因式分解x4-4=________.
4.因式分解：x3y2-x5=________.
5.分解因式：-a3+a2b-ab2=________.
6.给出三个多项式x2+x-1，x2+3x+1，x2-x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.
2.分解因式与整体代入求值
(1)利用平方差公式分解因式，再整体代入求值
通过对已知条件或对所求代数式利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求值.
【例1】若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n=________.
【标准解答】m2-n2=(m+n)(m-n)
=2(m+n)=6，∴m+n=3.
答案：3
(2)利用完全平方公式分解因式，再整体代入求值
通过对已知条件利用完全平方公式分解因式，对所求代数式化简分解因式，找出已知条件与所求代数式之间的关系，然后整体代入求值.
【例2】已知a2+2ab+b2=0，求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.
【标准解答】∵a2+2ab+b2=0，∴a+b=0，
又∵a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b).
∴原式=4×b×0=0.
1.若m-n=2，m+n=5，则m2-n2的值为________.
7
2.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.
3.因式分解的解题技巧
(1)通过加减变形，进行因式分解
分解某些多项式，有时需要加上并减去一个适当的项，从而在多项式的值保持不变的前提下达到因式分解的目的.
【例1】分解因式：4a4+1.
【标准解答】本题只需在原式中加上并减去4a2，即能运用完全平方公式和平方差公式进行分解.
原式=4a4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2
=(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1).
(2)通过拆项变形，进行因式分解
当多项式的因式分解遇到困难时，有时也可考虑采用拆项的方法，将多项式中的某一项进行拆分，然后将新得到的多项式进行适当组合，同样可以实现因式分解.
【例2】分解因式：2x3+3x2-1.
【标准解答】将3x2拆成2x2+x2，再将2x2与2x3组合，x2与-1组合，则能运用提取公因式法与平方差公式进行分解.
原式=2x3+2x2+x2-1
=(2x3+2x2)+(x2-1)
=2x2(x+1)+(x+1)(x-1)
=(x+1)(2x2+x-1).
(3)通过换元变形，进行因式分解
当多项式的次数较高，且其中含有相同的多项式因子时，采用换元法就能降低原多项式的次数，从而简化因式分解操作.
【例3】分解因式：(a2+2a)(a2+2a+4)+4.
【标准解答】设y=a2+2a，则原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2，
∴(a2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2.
(4)由整式的乘法可知，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，根据因式分解与整式乘法的关系可得
7
，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.
例如，将式子x2+3x+2分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个符合x2+(p+q)x+pq型的式子，利用这个关系可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
【例4】利用这种方法，将下列多项式分解因式.
(1)x2+9x+20. (2)x2-7x+12.
【标准解答】(1)x2+9x+20=(x+4)(x+5).
(2)x2-7x+12=(x-3)(x-4).
1.分解因式：
(1)x2-7x-8.
(2)x2+3x-18.
(3)a2+7ab+12b2.
(4)(a+b)2-5(a+b)-14.
2.先阅读以下材料，然后解答问题.
分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)；也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).
7
以上分解因式的方法称为分组分解法.请用分组分解法分解因式：a3-b3+a2b-ab2.
3.观察下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2，再减去a2)
=(x+a)2-4a2(运用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法.请你用配方法分解因式：x2-4xy+3y2.
7
跟踪训练答案解析
1.因式分解的方法
【跟踪训练】
1.【解析】选D.根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行分解因式，D选项x2+4x+4=(x+2)2.
2.【解析】(x+3)2-(x+3)
=(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2).
答案：(x+3)(x+2)
3.【解析】x4-4=(x2+2)(x2-2)=
(x2+2)(x+)(x-).
答案：(x2+2)(x+)(x-)
4.【解析】x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x).
答案：x3(y-x)(y+x)
5.【解析】原式=-a
=-a.
答案：-a
6.【解析】如：+=+(x+3x)+(-1+1)
=x2+4x=x(x+4).
又如：+=x2+2x+1=(x+1)2.
2.分解因式与整体代入求值
【跟踪训练】
1.【解析】m2-n2=(m+n)(m-n)=5×2=10.
答案：10
2.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.
∵m+n=3，∴2(m+n)2-6=2×32-6=12.
3.因式分解的解题技巧
【跟踪训练】
1.【解析】(1)x2-7x-8=(x-8)(x+1).
7
(2)x2+3x-18=(x+6)(x-3).
(3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b).
(4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2).
2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2)
=(a+b)2(a-b).
3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2
=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2
=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]
=(x-y)(x-3y).
7
微信/支付宝扫码支付