中档大题保分练(03)
(满分：46分 时间：50分钟)
说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题； 第4题可从A、B两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(A)(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋cos Acos B＝2cos Asin B．
(1)求tan A；
(2)若b＝2，AB边上的中线CD＝，求△ABC的面积．
解：(1)由已知得cos C＋cos Acos B
＝cos[π－(A＋B)]＋cos Acos B
＝－cos(A＋B)＋cos Acos B＝sin Asin B，
所以sin Asin B＝2cos Asin B．
因为在△ABC中，sin B≠0，所以sin A＝2cos A，则tan A＝2．
(2)由(1)得，cos A＝，sin A＝，
在△ACD中，CD2＝b2＋2－2·b··cos A，
代入条件得c2－8c＋12＝0，解得c＝2或6．
当c＝2时，S△ABC＝bcsin A＝4；
当c＝6时，S△ABC＝12．
1．(B)(12分)(2018·南充诊断)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2．
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
(1)证明：当n＝1时，a1＝2.由Sn＝2an－2，Sn＋1＝2an＋1－2得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，
所以＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是an＝2n．
(2)解：令bn＝＝，
则Tn＝＋＋＋…＋， ①
①×，得Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得Tn＝1＋＋＋…＋－
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＝＋－＝－．
所以Tn＝3－．
2．(12分)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1．
(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF⊥平面CDE，并证明；
(2)在(1)的条件下，求多面体ABCDF的体积．
解：(1)F为线段CE的中点．
证明如下：由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
设H是线段CD的中点，连接FH，
则FH∥DE，且FH＝DE．
∵AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH．
∵AH⊥CD，AH⊥DE，CD∩DE＝D，
∴AH⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE．
(2)∵VABCDF＝VABCD＋VFBCD＝VBACD＋VBCDF
＝×S△ACD×AB＋×S△CDF×AH＝＋＝，
∴多面体ABCDF的体积为．
3．(12分)近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到频率分布直方图如图1．
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图1
(1)记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A，试估计A的概率；
(2)根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．
图2
由散点图看出，可采用y＝ea＋bx作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表；
iyi
iYi
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
①根据回归方程类型及表中数据，建立y关于x的回归方程；
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
附注：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu
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的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．
②参考数据：e2.95≈19.1，e1.75≈5.75，e0.55≈1.73，e－0.65≈0.52，e－1.85≈0.16．
解：(1)由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4＝0.28，在(12,16]的频率为0.03×4＝0.12，
所以P(A)＝0.28＋0.12＝0.40．
(2)①由y＝ea＋bx得ln y＝a＋bx，即Y关于x的线性回归方程为＝a＋bx，
因为＝＝＝－0.3，
＝－＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55，
所以Y关于x的线性回归方程为＝3.55－0.3x，
即y关于x的回归方程为＝e3.55－0.3x．
②根据①中的回归方程＝e3.55－0.3x和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在(0,4]的平均成交价格为e3.55－0.3×2＝e2.95≈19.1，对应的频率为0.2；
使用时间在(4,8]的平均成交价格为e3.55－0.3×6＝e1.75≈5.75，对应的频率为0.36；
使用时间在(8,12]的平均成交价格为e3.55－0.3×10＝e0.55≈1.73，对应的频率为0.28；
使用时间在(12,16]的平均成交价格为e3.55－0.3×14＝e－0.65≈0.52，对应的频率为0.12；
使用时间在(16,20]的平均成交价格为e3.55－0.3×18＝e－1.85≈0.16，对应的频率为0.04；
所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：(0.2×19.1＋0.36×5.75)×4%＋(0.28×1.73＋0.12×0.52＋0.04×0.16)×10%＝0.29 092≈0.29万元．
4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数), 在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D．
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若点A(ρ1，θ)，B在曲线C1上，求＋的值．
解：(1)将M及对应的参数φ＝
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代入曲线C1的参数方程得解得
所以C1的普通方程为＋y2＝1，
设圆C2的半径R，则圆C2的方程为ρ＝2Rcos θ(或(x－R)2＋y2＝R2)，将点D代入得：∴R＝1，∴圆C2的方程为：ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1．
(2)∵A(ρ1，θ)，B均在曲线C1上，
∴＋(ρ1sin θ)2＝1，＋(ρ2cos θ)2＝1．
所以＋＝＋＝＋1＝．
4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋4|．
(1)求f(x)≥f(4)的解集；
(2)设函数g(x)＝k(x－3)(k∈R)，若f(x)＞g(x)对∀x∈R成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝|x－3|＋|x＋4|，∴f(x)≥f(4)，
即|x－3|＋|x＋4|≥9，
∴ ①
或 ②
或 ③
解不等式①：x≤－5；②：无解；③：x≥4，
所以f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}．
(2)f(x)＞g(x)即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)，k∈R图象的上方，可以作出f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝的图象，
而g(x)＝k(x－3)，k∈R图象为恒过定点P(3,0)，且斜率k变化的一条直线，作出函数y＝f(x)，y＝g(x)图象如图，
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其中kPB＝2，可求：A(－4,7)，
∴kPA＝－1，由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，实数k的取值范围为－1＜k≤2．
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