压轴大题拉分练(05)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M作x轴的垂线，交椭圆C于G，求证：存在实数λ，使得＝λ．
(1)解：依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故a＝2．
将代入椭圆＋＝1中，解得b2＝3，
故椭圆C的方程为：＋＝1．
(2)证明：由题知直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k(x－4)．
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则G(x1，－y1)，
联立
得3x2＋4k2(x－4)2＝12．
即(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
则Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
由题可得直线NG方程为y＋y1＝(x－x1)，
又∵y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
∴直线NG方程为y＋k(x1－4)＝(x－x1)，
令y＝0，整理得x＝＋x1
＝＝
＝＝1，
即直线NG过点(1,0)．
又∵椭圆C的右焦点坐标为F2(1,0)，
∴三点G，F2，N在同一直线上．
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∴ 存在实数λ，使得＝λ．
2．(12分)已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝xln x－n(x2－1)(m，n∈R)．
(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反，求实数n的取值范围；
(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．
(1)解：f′(x)＝－＝＞0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增．
由已知f(x)，g(x)在(0,1)上均单调且单调性相反，得g(x)在(0,1)上单调递减．
所以g′(x)＝ln x＋1－2nx≤0在(0,1)上恒成立，
即2n≥，
令φ(x)＝(x∈(0,1))，φ′(x)＝＞0，
所以φ(x)在(0,1)上单调递增，φ(x)＜φ(1)＝1，
所以2n≥1，即n≥．
(2)证明：由(1)f(x)＝ln x－在(0,1)上单调递增，
f(x)＝ln x－＜f(1)＝0，即ln x＜，
令x＝∈(0,1)得ln ＜＝，
∵ln ＜0，∴＜．
在(1)中，令n＝，由g(x)在(0,1)上均单调递减得g(x)＞g(1)＝0，
所以xln x－(x2－1)＞0，即ln x＞，
取x＝∈(0,1)得ln ＞，
即ln a－ln b＞，
由ln a－ln b＜0得：＜，
综上：＜＜．
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