高考小题专练(04)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝N，B＝，则A∩B＝( )
A．[0,3) B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}
解析：选C 由集合A＝N和B＝＝{x|0≤x＜3}，所以A∩B＝{0,1,2}，故选C．
2．若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|＝( )
A． B．3
C．5 D．25
解析：选C 由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，则z＝＝＝5，所以|z|＝5，故选C．
3．在直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π－α)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C 由题意，角α的终边经过点P，即点P，则r＝|OP|＝＝1，由三角函数的定义和诱导公式得sin(π－α)＝sin α＝＝－，故选C．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a2·a6＝( )
A． B．
C．16 D．64
解析：选D 由题意数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，则a2＝S2－S1＝(22－1)－(21－1)＝2，a6＝S6－S5＝(26－1)－(25－1)＝32，所以a2·a6＝2×32＝64，故选D．
6
5．已知双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．
C． D．
解析：选D 由题意，直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2, 又由双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的一条渐近线y＝－x与直线2x－y＋1＝0垂直，所以－×2＝－1，所以b＝2a，所以双曲线的离心率为e＝＝＝，故选D．
6．已知实数x，y满足则2x－y的最大值为( )
A．－9 B．－3
C．－1 D．0
解析：选B 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设z＝2x－y，化为y＝2x＋(－z)，则－z表示直线在y轴上的截距，结合图象可知，当直线y＝2x＋(－z)经过点B时，目标函数取得最大值，又由解得B(－1,1)，所以目标函数的最大值为z＝2×(－1)－1＝－3，故选B．
7．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下结论：
①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
②m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α⇒α∥β
③m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β
④m⊂α，m∥n⇒n∥α．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由题意，对于①中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则两平面可能是平行的，所以不正确；对于②中，若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到α∥β，所以不正确；对于③中，若m⊥β，n⊥α，m⊥n，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正确的；对于④中，若m⊂α，m∥n，n⊄α⇒n∥α
6
，所以是不正确的，综上可知，正确命题的个数只有一个，故选B．
8．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由题意，当直线l1∥l2时，满足＝≠，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B．
9．已知a＝，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：选A 由幂函数性质，可知幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)为单调递增函数，所以＜＜1，即0＜a＜b＜1，又由对数函数的性质可知c＝log＞log＝1，所以＜＜1＜log，即a＜b＜c，故选A．
10．执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )
A．45 B．55
C．66 D．78
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解析：选B 执行如图所示的程序框图，根据程序框图的运算功能可知，该程序框图是计算2n≤2 018的正整数的和，因为210＝1 024＜2 018,211＝2 048＞2 018，所以执行程序框图，输出的结果为S＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55，故选B．
11．(2018·西安期末)三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝，PB＝1，PC＝，则该三棱锥的外接球的体积是( )
A．π B．π
C．π D．8π
解析：选A 三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球．长方体的体对角线的长为＝，所以球的直径是，半径为，球的体积为×π×3＝π.故选A．
12．已知函数f(x)＝若m＜n，且f(m)＝f(n)，则n－m的取值范围为( )
A．[3－2ln 2,2) B．[3－2ln 2,2]
C．[e－1,2) D．[e－1,2]
解析：选A 作出函数f(x)的图象，如图所示，若m＜n，且f(m)＝f(n)，则当ln(x＋1)＝1时，得x＋1＝e，即x＝e－1，则满足0＜n≤e－1，－2＜m≤0，则ln(n＋1)＝m＋1，即m＝2ln(n＋1)－2，则n－m＝n＋2－2ln(n＋1)，设h(n)＝n＋2－2ln(n＋1)，0＜n≤e－1，则h′(n)＝1－＝，当h′(n)＞0，解得1＜n≤e－1，当h′(n)＜0，解得0＜n＜1，当n＝1时，函数h(n)取得最小值h(1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2，当n＝0时，h(0)＝2－2ln 1＝2；当n＝e－1时，h(e－1)＝e－1＋2－2ln(e－1＋1)＝e－1＜2，所以3－2ln 2≤h(n)＜2，即n－m的取值范围是[3－2ln 2,2)，故选A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________．
解析：(a＋b)⊥b⇒(4，m－2)⊥(3，－2)⇒12－2(m－2)＝0⇒m＝8．
答案：8
14．数列{an}满足an＝，则＋＋…＋等于________．
6
解析：由题意an＝，则＝＝2，
所以＋＋…＋
＝2
＝2＝．
答案：
15．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角α满足tan α＝，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．
解析：由题意tan α＝，且α∈，解得sin α＝，cos α＝，不妨设三角形内的斜边的边长为5，则较小边直角边的边长为5sin α＝3，较长直角边的边长为5cos α＝4，所以小正方形的边长为1，所以大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以满足条件的概率为P＝．
答案：
16．设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2，已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________．
解析：由抛物线x2＝4y的方程可知F(0,1)，设A(x0，y0)，又由|AF|＝2，根据抛物线的定义可知|AF|＝y0＋＝y0＋1＝2，解得y0＝1，代入抛物线的方程，可得x0＝2，即A(2,1)，作抛物线的焦点F(0,1)，关于抛物线准线y＝－1的对称点得F1(0，－3)，连接AF1交抛物线的准线y＝－1于点P，此时能使得|PA|＋|PF|取得最小值，此时点P的坐标为(1，－1)，在△PAF中，|AF|＝2，|PF|＝|PA|＝，由余弦定理得cos ∠APF＝＝，则sin ∠APF＝，由正弦定理得2R＝＝＝，所以R＝，即三角形外接圆的半径为R＝
6
eq \f(5,4)．
答案：
6
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