专题21 填空题解题方法
1．如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．
【答案】9
2.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由已知得：BC＝2，球O的半径R＝＝，故其表面积S＝4πR2＝4π·()2＝12π.
3.已知椭圆＋＝1，A、C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是________．
【答案】
【解析】由条件知A(0，)，B(－2,0)，C(0，－)，F(－1,0)，直线AB：x－2y＋2＝0，CF：x＋y＋＝0，∴D(－，)，＝(－，－)，＝(，－)，cos∠BDF＝＝.
4.设00，∴a>b>c.
13.如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
【答案】π
【解析】如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
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14．设(x－3)2＋(y－3)2＝6，则的最大值为________．
【答案】3＋2
【解析】设＝k，则可转化为直线kx－y＝0与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点时k的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．
15.已知P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则x＋y的最大值是________．
【答案】5
16．已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是________．
【答案】[6，＋∞)
【解析】∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3，故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根，其中a＋b＝m，ab＝m＋3，要使方程有两个正根，应有
解得m≥6，
即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)．
17.已知x>0，比较x与ln(1＋x)的大小，结果为________．
【答案】x>ln(1＋x)
【解析】解法一：令x＝1，则有1>ln2，
∴x>ln(1＋x)．
解法二：令f(x)＝x－ln(x＋1)．
∵x>0，f′(x)＝1－＝>0，
又因为函数f(x)在x＝0处连续，
∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
从而当x>0时，
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f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0.
∴x>ln(1＋x)．
解法三：在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)．
18．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值为________．
【答案】
【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM，过点O作ON⊥CM于N，则ON⊥平面ABC．∴OM与平面ABC所成的角是∠OMC．在Rt△OMC中，tan∠OMC＝＝＝，即OM与平面ABC所成角的正切值为.
19．sin2(α－30°)＋sin2(α＋30°)－sin2α的值等于________．
【答案】
【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin2(α－30°)＋sin2(α＋30°)－sin2α＝＋－0＝.
20．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于________．
【答案】1
【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a5＝5，a3＝9满足条件．可求得S9＝S5＝45，故＝1.
21．函数f(x)＝的零点个数为________个．
【答案】3
22.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
【答案】
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23．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为函数y＝f(x)的导函数，则f′(0)＝________．
【答案】3
【解析】∵f(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
∴f′(0)＝3e0＝3.
24．在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．
【答案】
【解析】由题意，以AB为直径的圆过坐标原点O(0，0)，
当O(0，0)到直线2x＋y－4＝0距离为圆的直径时，圆C的面积最小．
由点到直线的距离2r＝＝，
因此r＝，圆C面积的最小值为π＝.
25．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
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