第一章 直角三角形的边角关系
1.解直角三角形的方法
(1)直接利用定义求值法
①∠A的正弦sinA==,
②∠A的余弦cosA==,
③∠A的正切tanA==.
概念是解直角三角形的基础,要结合图形记忆理解,它同勾股定理相结合,使得在直角三角形中求边长和锐角度数更加灵活.
【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB= ,sinA= .
【标准解答】如图,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=
==5,
∴sinA==.
答案:5
(2)设参数求值法
当条件为已知某两条线段比或某一锐角的三角函数值(非特殊角的三角函数值),求图形中其他角的三角函数值时,通常设参数求值,注意参数只是解题的桥梁,不参与最后结果.
【例2】在△ABC中,∠C=90°,sinA=,求sinB的值.
【标准解答】∵sinA=,∴设BC=k,AB=6k.
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又∠C=90°,故AC==k,
∴sinB===.
(3)构造直角三角形求值法
在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形,这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形,然后利用直角三角形的相关知识解决问题.当两个直角三角形拥有公共边时,先求出这条公共边是解答此类题的一般思路.
【例3】如图,在△ABC中,∠B=45°,cosC=,AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是 .
【标准解答】过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ACD中,AC=5a,cosC=,
∴CD=AC·cosC=3a,AD=4a.
在Rt△ABD中,AD=4a,∠B=45°,
∴BD=AD=4a.
∴BC=BD+CD=4a+3a=7a.
故=BC·AD=×7a×4a=14a2.
答案:14a2
【例4】如图,在四边形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于 ( )
A. B. C. D.
【标准解答】选B.连接BD.
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∵E,F分别是AB,AD的中点.
∴BD=2EF=4,
∵BC=5,CD=3,
∴△BCD是直角三角形.∴tanC=.
(4)构造方程求值法
某些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解,这时可以引入未知数,让未知数参与运算,最后列方程求解.
【例5】周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A,B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A,B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732) ( )
A.36.21米 B.37.71米
C.40.98米 D.42.48米
【标准解答】选D.已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A,B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A,B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,
所以设塔高为x米则得
=tan 30°=,
解得:x≈42.48.
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1.在△ABC中,AB=12,AC=13,cosB=,则BC边长为 ( )
A.7 B.8
C.8或17 D.7或17
2.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan∠BFE的值是 ( )
A. B.2 C. D.
2题图
3题图
3.如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为 ( )
A. B. C. D.
4.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为 .
21
4题图
5题图
6题图
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是 .
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是边AD的中点.若AC=10,DC=2,则BO= ,∠EBD的大小约为 度 分.(参考数据:tan 26°34'≈)
7.已知α,β均为锐角,且满足|sinα-|+=0,则α+β= .
8.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD.
(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.
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9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.
(1)求BD·cos∠HBD的值.
(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.
10.如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:
(1)BC的长.
(2)sin∠ADC的值.
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2.解直角三角形的实际应用
(1)俯角、仰角问题
利用解直角三角形知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形.解题时要认真审题,读懂题意,弄清仰角、俯角的含义,然后再作图解答.
【例1】如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取≈1.732,结果精确到1m)
【标准解答】设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m.
在Rt△AEC中,tan∠CAE=,
即tan 30°=,
∴=,3x=(x+100),
解得x=50+50≈136.6,
∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m).
答:该建筑物的高度约为138m.
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(2)方位角、方向角问题
弄清方位角的具体表示方法及对应的角是解题的基础,往往需作垂线构造直角三角形,利用解直角三角形知识解答;参照物不同的方位角,要注意借助两个“十字方向”中的平行线性质解题.
【例2】五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向;然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1米)
【标准解答】作PC⊥AB于点C,
∠ACP=∠BCP=90°,
∠APC=30°,
∠BPC=45°.
在Rt△ACP中,
∵∠ACP=90°,∠APC=30°,
∴AC=AP=50,PC=AC=50.
在Rt△BPC中,
∵∠BCP=90°,∠BPC=45°,
∴BC=PC=50.
∴AB=AC+BC=50+50≈50+50×1.732=136.6(米).
答:景点A与B之间的距离大约为136.6米.
【例3】如图,在A岛周围25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险?(参考数据≈1.732)
【标准解答】根据题意,有∠AOC=30°,∠ABC=45°,∠ACB=90°,
所以BC=AC,
于是在Rt△AOC中,由tan30°=,
得=,
解得AC=≈27.32(海里),
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因为27.32>25,
所以轮船不会触礁.
(3)坡度、坡角问题
在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,实质是解直角三角形问题,画出正确的图形更有助于解题.
【例4】河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是 ( )
A.5米 B.10米
C.15米 D.10米
【标准解答】选A.在Rt△ABC中,
BC=5米,tanA=1∶,
∴AC=BC÷tanA=5米.
【例5】某水坝的坡度i=1∶,坡长AB=20米,则坝的高度为 ( )
A.10米 B.20米
C.40米 D.20米
【标准解答】选A.如图,
∵坡度i=1∶,
∴设AC=x,BC=x,
根据勾股定理得,AC2+BC2=AB2,
则x2+(x)2=202,解得x=10.
1.如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是( )
A.20海里 B.40海里
C.20海里 D.40海里
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1题图
2题图
2.如图,从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°,底部C的俯角为45°,观测点与楼的水平距离AD为31m,则楼BC的高度约为 m(结果取整数).(参考数据:sin 32°≈0.5,cos 32°≈0.8,tan 32°≈0.6)
3.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米,AB=6米,中间平台宽度DE=1米,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=
31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
4.如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:≈1.41,
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≈1.73)
5.如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道,问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据:≈1.414,≈1.732)
6.如图,台风中心位于点O处,并沿东北方向(北偏东45°),以40千米/小时的速度匀速移动,在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响,在点O的正东方向,距离60千米的地方有一城市A.
(1)问:A市是否会受到此台风的影响,为什么?
(2)在点O的北偏东15°方向,距离80千米的地方还有一城市B,问:B市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受到影响,请说明理由.
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7.如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°,此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
8.如图所示,港口B位于港口O正西方向120km处,小岛C位于港口O北偏西
60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.
(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?
(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h,求v的值及相遇处与港口O的距离.
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9.如图1是一把折叠椅子,图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,其中AD和BC表示两根较粗的钢管,EG表示座板平面,EG和BC相交于点F,MN表示地面所在的直线,EG∥MN,EG距MN的高度为42cm,AB=43cm,CF=42cm,∠DBA=60°,
∠DAB=80°.求两根较粗钢管AD和BC的长.(结果精确到0.1 cm.参考数据:
sin 80°≈0.98,cos 80°≈0.17,tan 80°≈5.67,sin 60°≈0.87,cos 60°=0.5,tan 60°≈1.73)
10.如图,一艘轮船航行到B处,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)
跟踪训练答案解析
第一章 直角三角形的边角关系
1.解直角三角形的方法
【跟踪训练】
1.【解析】选D.∵cosB=,∴∠B=45°,
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当△ABC为钝角三角形时,如图1,
∵AB=12,∠B=45°,∴AD=BD=12,
∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,
∴BC=BD-CD=12-5=7;
当△ABC为锐角三角形时,如图2,
BC=BD+CD=12+5=17,故选D.
2.【解析】选D.连接AC.
∵CE垂直平分AB,∴BC=AC.
又四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∴∠ABD=∠ABC=30°.
∴∠BFE=60°.∴tan∠BFE=.
3.【解析】选D.过B点作BD⊥AC,如图,
由勾股定理得,
AB==,AD==2,
cosA===.
4.【解析】连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
在Rt△AOB中,
∵AB=15,sin∠BAC=,∴sin∠BAC==,∴BO=9,
21
∴AO===12,
∴AC=2AO=24.
答案:24
5.【解析】∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=180°-30°-90°=60°,
BC=AB=3,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∴CD=BC·tan30°=3×=,
∵BD是∠ABC的平分线,
又∵角平分线上的点到角两边的距离相等,
∴点D到AB的距离=CD=.
答案:
6.【解析】∵在矩形ABCD中,AC=10,
∴BD=AC=10,∴BO=BD=5,
∵DC=2,∴AD==4,
∴tan∠DAC==,
∵tan 26°34'≈,∴∠DAC≈26°34',
∴∠OAB=∠OBA=90°-∠DAC=63°26',
∵E是AD的中点,∴AE=AB=2,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴∠EBD=∠OBA-∠ABE=18°26'.
答案:5 18 26
7.【解析】∵|sinα-|+=0,
∴sinα=,tanβ=1,∴α=30°,β=45°,
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则α+β=30°+45°=75°.
答案:75°
8.【解析】(1)∵∠CAB=∠ACB,∴AB=CB,
∴▱ABCD是菱形.∴AC⊥BD.
(2)在Rt△AOB中,cos∠OAB==,AB=14,∴AO=14×=,
在Rt△ABE中,cos∠EAB==,AB=14,∴AE=AB=16,
∴OE=AE-AO=16-=.
9.【解析】(1)∵DH∥AB,
∴∠BHD=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△DHC,∴==3,
∴CH=1,∴BH=BC+CH=3+1=4,
在Rt△BHD中,cos∠HBD=,
∴BD·cos∠HBD=BH=4.
(2)∵∠CBD=∠A,∠ABC=∠BHD,
∴△ABC∽△BHD,∴=,
∵△ABC∽△DHC,∴==3,
∴AB=3DH,∴=,解得DH=2,
∴AB=3DH=3×2=6,
即AB的长是6.
10.【解析】(1)过点A作AE⊥BC于点E,
∵cosC=,
∴∠C=45°,
在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,
∴AE=CE=1,
在Rt△ABE中,tanB=,即=,
∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.
21
(2)∵AD是△ABC的中线,
∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1,
∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,
∴sin∠ADC=.
2.解直角三角形的实际应用
【跟踪训练】
1.【解析】选C.根据题意可知∠CAD=30°,
∠CBD=60°,
∵∠CBD=
∠CAD+∠ACB,
∴∠CAD=30°=∠ACB,
∴AB=BC=40海里,
在Rt△CBD中,∠BDC=90°,∠DBC=60°,sin∠DBC=,∴sin 60°=,
∴CD=40×sin 60°=40×=20(海里).
2.【解析】在Rt△ABD中,
∵AD=31,∠BAD=32°,
∴BD=AD·tan 32°≈31×0.6=18.6,
在Rt△ACD中,
∵∠DAC=45°,∴CD=AD=31,
∴BC=BD+CD=18.6+31=49.6≈50(m).
答案:50
3.【解析】设BM为x米,则DF=BM=x米,
在Rt△CFD中,∠CDF=45°,
∴CF=DF·tan 45°=DF=x米,
∴BF=BC-CF=(4-x)米,
∴EN=BF=(4-x)米,
∵在Rt△ANE中,∠EAN=31°,
∴AN=≈=(4-x).
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∵AN+MN+BM=AB,MN=DE=1,
∴(4-x)+1+x=6,解得x=2.5.
答:DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米.
4.【解析】过点A作AD⊥BC于点D,
设AD=xm.
在Rt△ABD中,
∵∠ADB=90°,
∠BAD=30°,
∴BD=AD·tan 30°=x.
在Rt△ACD中,
∵∠ADC=90°,∠CAD=45°,
∴CD=AD=x.
∵BD+CD=BC,∴x+x=150,
∴x=75(3-)≈95.
即A点到河岸BC的距离约为95m.
5.【解析】需要拆除,理由为:
∵CB⊥AB,∠CAB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=10米,
在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度为i=∶3,即∠CDB=30°,
∴DC=2BC=20米,BD==10米,
∴AD=BD-AB=(10-10)米≈7.32米,
∵3+7.32=10.32>10,∴需要拆除.
6.【解析】(1)作AD⊥OC,
∵由题意得:∠DOA=45°,OA=60km,
∴AD=DO=60÷=60km,
∵60>50,∴A市不会受到此台风的影响.
21
(2)作BG⊥OC于G,
∵由题意得:∠BOC=30°,OB=80km,
∴BG=OB=40km,∵40170,
∴轮船无触礁的危险.
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