2019年山东省淄博市淄川区昆仑中学中考数学一模试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．﹣|1﹣1|的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
3．从﹣1，0，，﹣0.3，π，中任意抽取一个数．下列事件发生的概率最大的是（ ）
A．抽取正数 B．抽取非负数 C．抽取无理数 D．抽取分数
4．某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动占学期成绩的20%，理论测试占20%，体育技能测试占60%，一名同学上述三项成绩依次为90分，95分，85分，则该同学这学期的体育成绩为（ ）
A．85分 B．88分 C．90分 D．95分
5．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，若△AFE的面积
为2，则△BCF的面积等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
7．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家11月份用水12吨，交水费20元，则该市每户的月用水标准量为（ ）
A．8吨 B．9吨 C．10吨 D．11吨
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
9．已知xa＝3，xb＝5，则x3a﹣2b＝（ ）
A．52 B． C． D．
10．若关于x的不等式组的解集为x＜2，且关于x的一元一次方程mx﹣4＝2（x+1）有正整数解，则满足条件的所有整数m的值之和是（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
11．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．4
12．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
13．如果（a，b为有理数），则a＝ ，b＝ ．
14．分解因式：m2n﹣4mn﹣4n＝ ．
15．以绳测井．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．若将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；若将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各式多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，根据题意，列出的方程组为 ．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB＝1，则BM的长为 ．
17．设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF．
19．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
20．“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D
四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
21．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了90元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用120元又买了一些，两次一共购买了40kg．求这种大米的原价．
22．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2＝2，求实数m的值．
23．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．
概念理解
（1）我们们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是 ；
性质探究
（2）如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB＞CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；
拓展应用
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交轴BC于点N，求MN的最大值．
第26题图
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．
2019年山东省淄博市淄川区昆仑中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．【分析】原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
3．【分析】分别求出各选项的概率进而得出答案．
【解答】解：A、抽取正数的概率为：，
B、抽取非负数的概率为：；
C、抽取无理数的概率为：；
D、抽取分数的概率为：；
故发生的概率最大的是B选项．
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率的意义，结合概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
4．【分析】因为体育课外活动占学期成绩的20%，理论测试占20%，体育技能测试占60%，利用加权平均数的公式即可求出答案．
【解答】解：由题意知，该同学这学期的体育成绩＝90×20%+95×20%+85×60%＝88（分）．
答：该同学这学期的体育成绩为88分．
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
5．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边AD的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝（）2＝（）2＝．
∵△AFE的面积为2，
∴△BCF的面积为8
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
7．【分析】根据题意可以设出相应的未知数，列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设该市每户的月用水标准量为x吨，
1.5x+（12﹣x）×2.5＝20，
解得，x＝10，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．
8．【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键．
9．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵xa＝3，xb＝5，
∴x3a﹣2b＝（xa）3÷（xb）2
＝33÷52
＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
10．【分析】根据已知不等式组的解集确定出m的范围，再分式方程有正整数解确定出满足题意m的所有值，并求出之和即可．
【解答】解：解不等式≤1，得：x≤6﹣m，
解不等式x﹣2＞3（x﹣2），得：x＜2，
∵不等式组的解集为x＜2，
则6﹣m≥2，即m≤4，
解方程mx﹣4＝2（x+1），得：x＝，
∵方程有正整数解，
∴m﹣2＝1或m﹣2＝2或m﹣2＝3或m﹣2＝6，
解得：m＝3或4或5或8，
又m≤4，
∴m＝3或4，
则满足条件的所有整数m的值之和是7，
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD＝CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠C＝45°，AC＝2，
∴AD＝CD＝2，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12．【分析】当y≥0时，即函数图象在x轴上和在x轴上方时对应的x的取值范围，结合图象可求得答案．
【解答】解：
由图象可知当x＝﹣2时，y＝0，且y随x的增大而减小，
∴当y≥0时，x≤﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，理解y≥0所表示的含义是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
13．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．
【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，
∴a＝6、b＝4．
故答案为：6、4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
14．【分析】提取公因式n即可．
【解答】解：m2n﹣4mn﹣4n＝n（m2﹣4m﹣4）．
故答案为n（m2﹣4m﹣4）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，要求学生灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．【分析】此题不变的是井深，用代数式表示井深即可得方程．
此题中的等量关系有：
①将绳三折测之，绳多五尺；
②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，可得：；
故答案为：．
【点评】此题考查方程组的应用，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
16．【分析】证明∠D+∠DEB＝180°，得到BE∥CD；同理可证DE∥AC，求出ME＝CD＝1，证明△ABE∽△MAB，得到AB2＝BE•BM，代入求出即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴CD＝DE＝AB＝1，∠BAE＝∠BCD＝∠D＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∠BAM＝∠BCA＝∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BED＝108°﹣36°＝72°，
∴∠D+∠BED＝180°，
∴BE∥CD；同理可证DE∥AC，
∴四边形DEMC为平行四边形，而DE＝DC，
∴四边形CDEM是菱形，
∴ME＝CD＝1，
∵∠ABM＝∠ABE，∠BAM＝∠AEB＝36°，
∴△ABE∽△MAB，
∴AB：BE＝BM：AB，
∴AB2＝BE•BM；
∴12＝BM×（BM+1），
解得：BM＝，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定、菱形的判定等几何知识点的应用问题；解题的关键是牢固掌握定理内容，灵活运用有关定理来分析，解答．
17．【分析】先利用一元二次方程的定义得到m2＝m+2019，m3＝2020m+2019，所以m3+2020n﹣2019＝2020（m+n），然后利用根与系数的关系得到m+n＝1，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2019＝0的根，
∴m2﹣m﹣2019＝0，
∴m2＝m+2019，
m3＝m2+2019m＝m+2019+2019m＝2020m+2019，
∴m3+2020n﹣2019＝2020m+2019+2020n﹣2019＝2020（m+n），
∵m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，
∴m+n＝1，
∴m3+2020n﹣2019＝2020．
故答案为2020．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．【分析】根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根据角平分线的定义，推知∠DAE+∠ADF＝90°，即可得到∠AGD＝90°．
【解答】证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20．【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．
【解答】解：（1）∵总人数为18÷45%＝40人，
∴C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人，
则C对应的扇形的圆心角是360°×＝117°，
故答案为：117；
（2）补全条形图如下：
（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，
故答案为：B．
（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×＝30人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+＝40，
解得：x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克6元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
【解答】解：（1）由题意得：△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝2，
即，
解得：x1＝2，x2＝0，
由根与系数的关系得：m＝2×0＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
23．【分析】概念理解
（1）根据邻对等四边形的定义可得；
性质探究
（2）延长CD到点E，使CE＝AB，根据“SAS”可证△ABC≌△ECB，可得∠BAC＝∠BEC，AC＝BE，可得∠BEC＝∠BDE＝∠BAC，根据平角的性质可得结论；
拓展应用
（3）存在，在BC的延长线上截取CE＝CD＝4，连接AE，BD，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠DEC＝∠ABC，根据“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，即四边形ABED为邻对等四边形，根据△ABC∽△DEC，可得DE的长．
【解答】解：概念理解
（1）∵矩形的对角线相等，且邻角相等
∴矩形是邻对等四边形
（2）如图，由AB＞CD，则延长CD到点E，使CE＝AB，
∵AB＝CE，∠ABC＝∠ECB，BC＝BC，
∴△ABC≌△ECB（SAS）
∴∠BAC＝∠BEC，AC＝BE，
∵AC＝BD
∴BD＝BE，
∴∠BEC＝∠BDE＝∠BAC，
∵∠BDC+∠BDE＝180°
∴∠BDC+∠BAC＝180°
即∠BAC与∠CDB互补；
拓展应用
（3）在BC的延长线上存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，
如图，在BC的延长线上截取CE＝CD＝4，连接AE，BD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACE＝2∠ABC，且∠BCD＝2∠ABC，
∴∠ACE＝∠BCD，且AC＝BC，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
∵CD＝CE，
∴∠DEC＝∠EDC，
∵∠BCD＝∠DEC+∠EDC，
∴∠BCD＝2∠DEC，且∠BCD＝2∠ABC，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴四边形ABED为邻对等四边形，
∵∠ABC＝∠DEC＝∠CAB＝∠CDE，
∴△ABC∽△DEC
∴
即
∴DE＝
【点评】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
24．【分析】（1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y＝x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面积S2＝5，则S1＝6S2＝30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD＝3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ＝BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE＝BD＝6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，
解得，
故直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y＝x2+bx+c得，
解得．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），
∵MN＝（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，MN有最大值；
（3）∵MN取得最大值时，x＝2.5，
∴﹣x+5＝﹣2.5+5＝2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x2﹣6x+5＝0，得x＝1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∴△ABN的面积S2＝×4×2.5＝5，
∴平行四边形CBPQ的面积S1＝6S2＝30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．
∵BC＝5，
∴BC•BD＝30，
∴BD＝3．
过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ＝BC，则四边形CBPQ为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC＝45°，
∴∠EBD＝45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，BE＝BD＝6，
∵B（5，0），
∴E（﹣1，0），
设直线PQ的解析式为y＝﹣x+t，
将E（﹣1，0）代入，得1+t＝0，解得t＝﹣1
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣1．
解方程组，得，，
∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．
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