www.ks5u.com
2017-2018学年第一学期第二次月考
高三数学（理科） 试卷（120分钟）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法正确的是（ ）
A. 是“函数是奇函数”的充要条件
B. 若，则
C. 若是假命题，则均为假命题
D.“若，则”的否命题是“若，则”
3．函数的周期为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5． 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形、该多面体
的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7．在等比数列中，，且前n项和，则此数列的项数n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9．函数的图象大致为( )
10. 定义在上的函数满足，，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
11已知在等边三角形ABC中，，则（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
12．已知函数，当时，不等式 恒成立，则( )
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．有最大值，无最小值 D．有最小值，最大值
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．设变量、满足约束条件：则的最大值是 ．
14.已知向量__________
15.已知函数，若，且，则的最小值为 .
16．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“完美对点集”．给出下列四个集合：
① ②；
③； ④．
其中是“完美对点集”的是 （请写出全部正确命题的序号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）
的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为，求．
18.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，公差为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（2）设（），求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图，在中，，，，是内的一点．
（Ⅰ）若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；
（Ⅱ）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值．
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，平面，
，
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
21.（本题满分12分）
已知曲线在点处的切线与曲线也相切
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设函数，若，且，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知；
（Ⅰ）若的解集为，求的值；
（Ⅱ）若,若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2017-2018学年第一学期第二次月考 理科数学答案
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
CDBABD BACCDA
二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13. 8 14. 3 15. 9 16. ② ④
三，解答题（共70分）
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为，
所以.
又因为，所以，
展开，得，
解得（舍去）或.……………（6分）
（Ⅱ）由，得，故.
又，则.由余弦定理及，
得，
所以.……………（12分）
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，，成等比数列得．
化简得，
又，解得，
故数列的通项公式（）……………（6分）
（Ⅱ）由可知，
所以
，
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解法一：因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，．又，
则．
在中，由余弦定理得
，
故．
解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有，，．
因为是等腰直角三角形，，所以，，所以直线的方程为，直线的方程为．
联立可得，故．
（Ⅱ）在中，，，所以．
由正弦定理可得：，
故，．
所以的面积为：
又，故，
从而当时，取到最大值，且最大值为．……………（12分）
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）取的中点，连结
由条件知，，
∴四边形和为平行四边形，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴
∴平面平面，则平面.……………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建系，
设，则，，
，
设平面的法向量为，则由，得，取
，则故
而平面的法向量为，则
所以二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为……………（12分）
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ），当时，，故在处的切线方程是.…………………（2分）
联立消去得，.或1.故.……………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，则.
又.
当时，是减函数；当时，是增函数.
令，.…（8分）
再令，则.
又，
当时，恒成立.
即恒成立.……………（10分）
令，即，有.
即.
.又，必有.
又当时，是减函数，，即.…………………（12分）
22（本小题满分10分）
（Ⅰ） , 由，得，所以曲线的直角坐标方程为.
由，消去得：.所以直线l的普通方程为.……………（5分）
（Ⅱ）把 代入，整理得，
因为，设其两根分别为 ，则
所以.……………（10分）
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）即，平方整理得：，
所以-3，-1是方程 的两根，
解得. ……………（5分）
（Ⅱ）因为
所以要不等式恒成立只需
当时，解得
当时，此时满足条件的不存在
综上可得实数的范围是.……………（10分）
微信/支付宝扫码支付