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高三数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2.若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知向量，则“”是“”的
4.若，则的值为
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前n项和为，且，则
A． B． C． D．2
6.已知曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为
A B C D
7.我国古代名著《庄子• 天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完。现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是
A. B. C. D.
8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是
9.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为
A．
B．
C．
D．
10.函数y=的图象大致是
A． B．C．D．
11.
12．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中，的系数与的系数之和等于 .
14．设，满足约束条件，且，则的最大值为 .
15．设，且，则满足条件的a的值有 个.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
在中，角所对应的边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，点在边上且，求.
18.（本小题满分12分）
如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2.
(I)求证：平面PBC平面PEC；
（II）求二面角B-PE-D的余弦值.
19.（本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成下面的 列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
(1)求对商品和服务全好评的次数的分布列；
(2)求的数学期望和方差．
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.（本小题满分12分）
给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.已知椭圆的离心率，其“准圆”的方程为.
(I)求椭圆的方程；
(II)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
(1)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；
(2)求证:线段的长为定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）在上恒成立,求的取值范围.
22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知直线，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线： .
（Ⅰ）将直线写成参数方程（为参数，）的形式，并求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线上任意一点作倾斜角为的直线，交于点，求|AP|的最值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于x的不等式的解集为．
（I）求实数m、n的值；
（II）设均为正数，且,求的最小值.
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