第十六章 二 次 根 式
1.二次根式的相关概念
(1)正确理解二次根式的概念要把握以下几点:
①二次根式是从形式上定义的,必须含有二次根号;
②在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,都必须满足被开方数(式)是非负数;
③根指数是2;
④形如b(a≥0)的式子也是二次根式.
【例1】要使二次根式有意义,x必须满足 ( )
A.x≤2 B.x≥2
C.x2
【标准解答】选B.根据题意,得x-2≥0,解得x≥2.
(2)正确理解最简二次根式:
①被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式;
②被开方数中每个因数或因式的指数都是1.
【例2】下列二次根式中的最简二次根式是 ( )
A. B.
C. D.
【标准解答】选A.=2,=2,=,而是最简二次根式.
1.要使代数式有意义,则x的 ( )
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A.最大值是 B.最小值是
C.最大值是 D.最小值是
2.下列属于最简二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
2.非负数性质的应用
在实数范围内,正数和零统称非负数.我们已学过的非负数有如下形式:
(1)任何一个数a的绝对值是非负数,即|a|≥0.
(2)任何一个数a的平方是非负数,即a2≥0.
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即≥0(a≥0).
即若a为实数,则a2,|a|,(a≥0)均为非负数.
非负数具有以下性质:
(1)非负数的最小值为零.
(2)有限个非负数的和仍是非负数.
(3)若几个非负数的和等于零,则每个非负数都等于零.
【例】若x,y为实数,且|x+2|+=0,则(x+y)2 016的值为 .
【标准解答】根据绝对值和算术平方根的意义可知,
|x+2|≥0,≥0,
又因为|x+2|+=0,
因此|x+2|=0,=0,
∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3,
∴(x+y)2 016=1.
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答案:1
1.已知实数x,y满足-1+|y+3|=0,则x+y的值为 ( )
A.-2 B.2 C.4 D.-4
2.若+(y+2)2=0,则(x+y)2 014等于 ( )
A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 014
3.化简二次根式的技巧
(1)被开方数是带分数
先把带分数化成假分数,再把分子、分母乘以适当的数,把分母变成平方数,应用商的算术平方根的性质把分母中的数开出来.
【例1】化简:.
【标准解答】原式====.
(2)被开方数为单项式
先把单项式写成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.
【例2】化简:.
【标准解答】=
=2ab2.
(3)被开方数为多项式
先把多项式分解因式成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.
【例3】化简:.
【标准解答】原式=
=2x2y.
(4)被开方数是分式
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把分式的分母和分子乘以适当的数或字母,把分母变成平方数(式),应用商的算术平方根的性质把分母中的数或字母开出来.
【例4】化简:.
【标准解答】原式=
==.
1.化简的结果是 ( )
A.4 B.2 C.3 D.2
2.化简:= .
3.若=3-x,则x的取值范围是 .
4.二次根式的有关运算
(1)二次根式的乘除运算有两种策略:一是先把它们都化成最简二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法则化简.要根据题目的特点灵活选择,单纯的乘除混合运算,一般采用第二种方法.
【例1】计算×的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
【标准解答】选B.×==4.
(2)二次根式的加减运算,可以简记为“一化,二找,三合并”,即①把二次根式化成最简二次根式;②找出被开方数相同的根式;③合并被开方数相同的二次根式.(被开方数不同的不能合并)
【例2】计算-3= .
【标准解答】原式=2-3×=2-=.
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答案:
(3)二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式(或公式的逆用),简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.
【例3】计算:×= .
【标准解答】原式=-=9-1=8.
答案:8
1.计算:-2等于 .
2.计算的结果是 .
3.计算:(+)2-= .
5.数学思想在解答二次根式题目中的应用
(1)转化思想
转化思想是将不易解决的问题变成我们容易解决的问题,从而达到将抽象转化为具体,复杂转化为简单的一种数学思想.如例1中,将复杂的形式转化成积的乘方的形式,再利用平方差公式知识求解.
【例1】计算(1+)2 012(1-)2 013.
【标准解答】原式=
(1+)2 012(1-)2 012(1-)
=(1-)
=(-1)2 012(1-)=1-.
(2)分类讨论思想
有的数学问题可能有几种情况,在未具体指明哪种情况时,需要对各种情况进行讨论,确保“不重不漏”.
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【例2】已知|a|=2,=4,且ab
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