第十七章 勾 股 定 理
1.在非直角三角形中作辅助线的方法
(1)作高(垂线)法:解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段,转化为直角三角形,利用勾股定理计算或证明.
【例1】在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【标准解答】∵AC=4,BC=2,AB=2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况:
情况1:如图,过点D作DE⊥CB,垂足为点E.
易证△ACB≌△BED,易求CD=2;
情况2:如图,过点D作DE⊥CA,垂足为点E.易证△ACB≌△DEA,易求CD=2;
情况3:如图,过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.易证
△AFD≌△DEB,易求CD=3.
10
(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法:有些几何图形,比如四边形,本身就具备直角的已知条件,但没有直角三角形,此时要根据图形特点巧构直角三角形
【例2】如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.
【标准解答】延长AD,BC交于E点,如图.
∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°.
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
则BE==4.
∵DE==2,
∴四边形ABCD的面积=△ABE的面积-△CDE的面积=6.
△ABC中,AB=4,BC=3,∠BAC=30°,则△ABC的面积为 .
2.运用数学思想处理问题
(1)分类讨论思想:在一些求值计算中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不唯一时,要注意分情况进行讨论,避免漏解.
【例1】已知三角形相邻两边长分别为20 cm 和30 cm.第三边上的高为10 cm,则此三角形的面积为 cm2.
10
【标准解答】设AB=20 cm,AC=30 cm,AD=10 cm
有两种情况:
一种在直角三角形ABD中利用勾股定理得BD===10 cm.
同理解得CD=20 cm,
则三角形ABC的面积=×BC×AD
=××10=(100+50)cm2.
二种:在直角三角形ABD中,BD===10 cm.
在直角三角形ACD中,CD===20 cm.
则BC=(20-10) cm,
所以三角形ABC的面积为(100-50) cm2.
答案:(100+50)或(100-50)
(2)方程思想:勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时可由此列出方程,运用方程思想分析问题、解决问题,以便简化求解.
【例2】如图,长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为 .
10
【标准解答】∵∠CBD=∠DBE,∠CBD=∠ADB,
∴∠DBE=∠ADB,
∴DE=BE.设DE的长为x,
则AE=8-x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即42+(8-x)2=x2,
解得:x=5.
答案: 5
1.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .
2.长方形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为 .
3.折叠问题及最短路径问题
几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点,这两类问题都需要构造直角三角形,借助勾股定理解决.
(1)利用勾股定理解决图形折叠问题
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将
△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是 .
【标准解答】∵∠C=90°,
10
BC=6 cm,AC=8 cm,
∴AB=10 cm,
∵将△BCD沿BD折叠,
使点C落在AB边的C′点,
∴DC=DC′,BC=BC′=6 cm,
∴AC′=4 cm,设DC=x cm,
则AD=(8-x) cm,
在Rt△ADC′中,
AD2=AC′2+C′D2,
即(8-x)2=42+x2,
解得x=3,
∴△ADC′的面积=×4×3=6(cm2).
答案:6 cm2
【例2】如图,长方形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【标准解答】选D.∵四边形ABCD是长方形,AD=8,
∴BC=8,∵△AEF是△AEB翻折而成,
∴BE=EF=3,AB=AF,
△CEF是直角三角形,
∴CE=8-3=5,在Rt△CEF中,
CF== =4,
设AB=x,
10
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
即(x+4)2=x2+82,
解得x=6.
(2)最短距离问题
求立体图形表面上两点之间的最短距离问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间,线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题的重要转化思想之一.
【例3】如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )
A.4 dm B.2 dm
C.2 dm D.4 dm
【标准解答】选A.如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,
∴AB=2 dm,BC=BC′=2 dm,
∴AC2=22+22=4+4=8,
∴AC=2,
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4 dm.
10
1.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
A. B.
C.4 D.5
2.如图,圆柱形容器高18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.
2题图
3题图
10
3.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是
尺.
答案解析：
1.在非直角三角形中作辅助线的方法
【跟踪训练】
【解析】根据题意画出图形可知符合要求的△ABC共有两个(如图),过点B作BD⊥AC,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BD=2,AD=2,CD==,
故AC=2-或AC=2+,
S△ABC=×(2-)×2=2-
或S△ABC=×(2+)×2=2+.
答案:2-或2+
2.运用数学思想处理问题
【跟踪训练】
1.【解析】当3,4为直角边长时,则第三边是斜边,其长为5;当长为4的边是斜边时,第三边是直角边,其长是.故第三边长为5或.
答案:5或
2.【解析】①∠EFC=90°时,如图1,
∵∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,
∴点A,F,C共线,
10
∵长方形ABCD的边AD=8,
∴BC=AD=8,
在Rt△ABC中,
AC===10,
设BE=x,则CE=BC-BE=8-x,
由翻折的性质得,
AF=AB=6,EF=BE=x,
∴CF=AC-AF=10-6=4,
在Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,
即x2+42=(8-x)2,
解得x=3,即BE=3;
②∠CEF=90°时,如图2,
由翻折的性质得,∠AEB=∠AEF=×90°=45°,
∴四边形ABEF是正方形,
∴BE=AB=6.
综上所述,BE的长为3或6.
答案:3或6
3.折叠问题及最短路径问题
【跟踪训练】
1.【解析】选C.设BN=x,则依据折叠原理可得DN=AN=9-x,
又D为BC的中点,所以BD=3,
在Rt△NBD中,利用勾股定理,可得
BN2+BD2=DN2,
则有32+x2=(9-x)2,
10
解得x=4,即BN=4.
2.【解析】如图,将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.由题意知EA′=2 cm,BD=18-4+2=16 cm,A′D=
12 cm.
由勾股定理得A′B==20(cm).
答案:20
3.【解析】把这个圆柱沿一条母线剪开,一条边(即枯木的高)长20尺,另一条边长为5×3=15(尺),因此葛藤长=25(尺).
答案:25
10
微信/支付宝扫码支付