2019版八年级数学下册第十八章平行四边形试题（新人教版）.doc

第十八章 平行四边形 ‎　　1.平行四边形的性质 ‎ (1)根据平行四边形对边相等,可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.‎ ‎ (2)平行四边形的对角相等,邻角互补,这是根据平行线的性质进行推导得出的,可以用来求角的度数.‎ ‎ (3)平形四边形的对角线互相平分,且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形,可以应用全等三角形的性质进行解题.‎ ‎【例1】在▱ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,则▱ABCD的周长为　　　　cm. ‎ ‎【标准解答】∵在▱ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm, ∴CD=AB=6 cm,AD=BC=8 cm,‎ ‎∴▱ABCD的周长为6+6+8+8=28(cm).‎ 答案:28‎ ‎【例2】在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0), (4,2),则顶点D的坐标为 (　　)‎ A.(7,2) B.(5,4)‎ C.(1,2) D.(2,1)‎ ‎【标准解答】选C.如图.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AB,CD∥AB,‎ ‎∵▱ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),‎ ‎∴顶点D的坐标为(1,2).‎ ‎【例3】如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是　　　　. ‎ 24‎ ‎【标准解答】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=3,AD=BC=4,‎ ‎∵EF⊥AB,∴EH⊥DC,∠BFE=90°,‎ ‎∵∠ABC=60°,∴∠HCB=∠B=60°,‎ ‎∴∠FEB=∠CEH=180°-∠B-∠BFE=30°,‎ ‎∵E为BC的中点,∴BE=CE=2,‎ ‎∴CH=BF=1,‎ 由勾股定理得:EF=EH=.‎ ‎∴△DFH的面积=FH×DH=4,‎ ‎∴△DEF的面积是2.‎ 答案:2‎ ‎【例4】如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,CE=AF,请你猜想:线段BE与线段DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.‎ ‎【标准解答】猜想:BE􀱀DF.‎ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CB=AD,CB∥AD, ∴∠BCE=∠DAF 在△BCE和△DAF中,‎ 24‎ ‎∴△BCE≌△DAF,‎ ‎∴BE=DF,∠BEC=∠DFA.‎ ‎∴BE∥DF,即 BEDF.‎ ‎【例5】如图,在▱ABCD中,∠B=80°,AE平分∠BAD交BC于点E,CF//AE交AD于点F,则∠1= (　　)‎ A.40° B.50° C.60° D.80°‎ ‎【标准解答】选B.因为∠B=80°,‎ 所以∠BAD=100°,又AE平分∠BAD,‎ 所以∠BAE=∠DAE=∠BEA=50°,‎ 因为CF//AE,所以∠1=∠BEA=50°.‎ ‎【例6】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于　　　　. ‎ ‎【标准解答】因为AB∥CD,AD∥BC,‎ 所以四边形ABCD是平行四边形,‎ 所以AO=OC=AC=3.‎ 答案:3‎ ‎【例7】如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是 (　　)‎ A.AC⊥BD B.AB=CD C.BO=OD D.∠BAD=∠BCD ‎【标准解答】选A.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,则选项B正确;又根据平行四边形的对角线互相平分,∴BO=OD,则选项C正确;又∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ABC=180°,‎ ‎∴∠BAD=∠BCD,则选项D正确;由BO=OD,假设AC⊥BD,又∵OA=OA,∴△ABO≌‎ ‎△ADO,∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾,∴AC不垂直BD,则选项A错误.‎ 24‎ ‎1.已知▱ABCD的周长为32,AB=4,则BC= (　　)‎ A.4 B.12 C.24 D.28‎ ‎1题图 ‎2题图 ‎2.若平行四边形ABCD的周长为22 cm.AC,BD相交于点O,△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm,则AD=　　　　,AB=　　　　. ‎ ‎3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是CD延长线上的任意一点,连接BE交AD于点O,如果△ABO≌△DEO,则需要添加的条件是　　　　. ‎ ‎4.如图,四边形ABCD是平行四边形,BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,且与对角线AC分别相交于点E,F.‎ 求证:AE=CF.‎ ‎　　2.平行四边形的判定 ‎ (1)若已知条件出现在四边形的边上,则考虑利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明.‎ ‎【例1】如图,平行四边形ABCD中,点E是AB的延长线上的一点,且EC∥BD,试说明:四边形BECD是平行四边形.‎ 24‎ ‎【标准解答】因为四边形ABCD是平行四边形,‎ 所以AB∥CD,即BE∥CD,‎ 因为EC∥BD,‎ 所以四边形BECD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).‎ ‎(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明.‎ ‎【例2】平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB,试说明:四边形AFCE是平行四边形.‎ ‎【标准解答】因为四边形ABCD是平行四边形,‎ 所以DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°,‎ 所以∠ADE=∠CBF=60°,‎ 因为AE=AD,CF=CB ,‎ 所以△AED,△CFB是等边三角形,‎ 又在平行四边形ABCD中,‎ AD=BC,DC=AB,‎ 所以AE=CF,ED=BF,‎ 所以ED+DC=BF+AB, ‎ 即EC=AF,‎ 所以四边形AFCE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).‎ ‎ (3)利用“一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形”说明.‎ ‎【例3】如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.试判断四边形DBCF是怎样的四边形?说明你的理由.‎ 24‎ ‎【标准解答】 四边形DBCF是平行四边形.理由如下:因为△ADE绕点E顺时针旋转180°得到△CFE,所以△ADE≌△CFE,且A,E,C和D,E,F在一条直线上,所以AD=CF,∠A=∠ECF,‎ 所以AB∥CF.又因为D是AB的中点,‎ 所以AD=DB=CF,‎ 所以四边形DBCF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)‎ ‎(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明.‎ ‎【例4】如图,已知,平行四边形ABCD中,∠B,∠D的平分线分别交CD,AB于点E,F.‎ 求证:四边形DFBE是平行四边形.‎ ‎【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠ABC =∠ADC,∠A=∠C,‎ ‎∵BE,DF平分∠ABC,∠ADC,‎ ‎∴∠1=∠3=∠ADC,‎ ‎∠2=∠4=∠ABC,‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠4,‎ 24‎ 又∵∠DEB=∠4+∠C,∠DFB=∠3+∠A,∠A=∠C,‎ ‎∴∠DEB=∠DFB,‎ ‎∴四边形DFBE是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).‎ ‎(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明.‎ ‎【例5】如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E,F分别为OB,OD的中点,过O任作一直线分别交AB,CD于点G,H.‎ 说明:四边形EHFG是平行四边形.‎ ‎【标准解答】连接GE,FH.‎ 因为四边形ABCD是平行四边形,‎ 所以OA=OC,AB∥CD,‎ 所以∠BAO=∠DCO,‎ 又因为∠AOG=∠COH,‎ 所以△AOG≌△COH.‎ ‎∴OG=OH.‎ 又因为E,F分别为OB,OD的中点,‎ 所以OE=OF,‎ 所以四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).‎ 24‎ ‎1.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件　　　　(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形. ‎ ‎2.已知:如图,在四边形ABCD 中,AB ∥ CD,E,F 为对角线AC 上两点,且AE=CF,DF∥BE.‎ 求证:四边形ABCD 为平行四边形.‎ ‎3.如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上.且BE=DF.‎ 求证:(1)AE=CF.‎ ‎(2)四边形AECF是平行四边形.‎ ‎　　3.三角形中位线 ‎ (1)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.‎ ‎ (2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系,为我们证明平行或求线段的长提供了依据.‎ ‎【例1】如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A,B两点的点O 处,再分别取OA,OB的中点M,N,量得MN=20 m,则池塘的宽度AB为　　　　m. ‎ ‎【标准解答】由三角形的中位线定理可知,AB=2MN=40 m.‎ 答案:40‎ ‎【例2】已知:如图,在△ABC中,DE,DF是△ABC的中位线,连接EF,AD,其交点为O.求证:‎ 24‎ ‎(1)△CDE≌△DBF.‎ ‎(2)OA=OD.‎ ‎【标准解答】(1)∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DF=CE,DF∥CE,DB=DC.‎ ‎∵DF∥CE,∴∠C=∠BDF.‎ 在△CDE和△DBF中,‎ ‎∴△CDE≌△DBF(SAS).‎ ‎(2)∵DE,DF是△ABC的中位线,‎ ‎∴DF=AE,DF∥AE,‎ ‎∴四边形DEAF是平行四边形,‎ ‎∵EF与AD交于O点,‎ ‎∴AO=OD.‎ ‎1.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A,D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为　　　　. ‎ ‎1题图 ‎2题图 ‎2.如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3,……,则△A5B5C5的周长为　　　　. ‎ ‎　　4.矩形的判定 24‎ ‎ 矩形的判定方法通常有三种:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义).(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.‎ 判定矩形的思路:首先考虑定义法,其次考虑三个角为直角,最后考虑对角线法.‎ ‎(1)利用“一个直角+平行四边形”来判定矩形.‎ ‎【例1】如图,△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.‎ ‎(1)求证:△AEF ≌ △BED.‎ ‎(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD是矩形.‎ ‎【标准解答】(1)如图所示,‎ ‎∵AF∥BC,∴∠1 =∠2,∠3 =∠4.‎ ‎∵点E是AB的中点,∴AE=BE,‎ ‎∴△AEF ≌ △BED (AAS).‎ ‎(2)∵△AEF≌△BED,∴AF=BD.‎ ‎∵AF∥BD,‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形,‎ ‎∵AB=AC,BD=CD,‎ ‎∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,‎ ‎∴四边形AFBD是矩形.‎ ‎(2)利用“三个角都是直角+四边形”来判定矩形.‎ ‎【例2】如图,▱ABCD的四个内角的平分线相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.‎ ‎【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,‎ ‎∴∠DAB+∠ABC=180°,∵AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC,∴∠HAB=∠DAB,‎ 24‎ ‎∠HBA=∠ABC,∴∠HAB+∠HBA=90°,∴∠H=90°,同理∠HEF=∠F=90°,‎ ‎∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎(3)利用“对角线相等+平行四边形”来判定平行四边形是矩形.‎ ‎【例3】如图,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA,PC为邻边作▱APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°