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丰台区2019年高三年级第二学期综合练习（一）
数 学（理科）
2019. 03
（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．复数的共轭复数是
（A） （B） （C） （D）
2．已知集合，集合．若，则实数的取值集合为
（A） （B） （C） （D）
3．设命题：，则为
（A） （B）
（C） （D）
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的，输出的，那么判断框内的条件可以为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．下列函数中，同时满足：①图象关于轴对称；②，的是
（A） （B）
（C） （D）
6．已知和是两个不同平面，，是与不同的两条直线，且，，，那么下列命题正确的是
（A）与都不相交 （B）与都相交
（C）恰与中的一条相交 （D）至少与中的一条相交
7．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为
（A） （B） （C） （D）
8．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数）
，那么称该多边形为格点多边形．若是格点三角形，其中，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知平面向量，，且，那么____．
10．从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务．如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为____．
11．直线与圆（为参数）相交于两点．若，则____．
12．若的面积为，且，则____．
13．已知函数．
①函数的最小正周期为____；
②若函数在区间上有且只有三个零点，则的值是____．
14．已知数列对任意的，都有，且
①当时，____；
②若存在，当且为奇数时，恒为常数，则____．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
已知函数，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的最大值.
16．（本小题13分）
随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．
（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；
（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立．记为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）
17．（本小题14分）
如图，四棱柱中，底面为直角梯形，，，
平面平面，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：是函数的极小值点.
19．（本小题14分）
已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.
（Ⅰ）求抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求证：直线与轴平行.
20．（本小题13分）
设且，集合.
（Ⅰ）写出集合中的所有元素；
（Ⅱ）设，Î，证明：“”的充要条件
是“”；
（Ⅲ）设集合，求中所有正数之和.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（一）
高三数学（理科）答案
2019．03
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
B
A
B
C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9． 10． 11．
12． 13．； 14．；
三、解答题（共6小题，共80分）
15.（共13分）
解：（Ⅰ）
.
因为 ,
所以 .
（Ⅱ）解法1：因为 函数的增区间为.
由，，
所以 ，.
所以 函数的单调递增区间为，.
因为 函数在上是单调函数，
所以 的最大值为.
解法2：因为，
所以.
因为 是函数的增区间，
所以 .
所以 .
所以 的最大值为.
16．（共13分）
解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A.
因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，
所以~.
；
；
.
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
所以的数学期望为.
（Ⅲ） .
17.（共14分）
解：（Ⅰ）因为 平面平面，平面平面，，
平面，
所以 平面.
因为 平面，
所以 .
（Ⅱ）取的中点，连结.
平行四边形中，.易证.
由（Ⅰ）知平面.
故以为原点，所在直线为坐标轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
依题意，，
设平面的一个法向量为
则，
则， 即，
令，得．
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，可知为锐角，
则，
即二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设，，．
因为，，，
所以
所以.
因为平面
所以
即，所以．
所以存在点，使得平面，此时．
18.（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以，
故，
令，得，所以单调递增区间为；
令，得，所以单调递区间为．
（Ⅱ）由题可得.
① 当时，对任意，都有恒成立，
所以当时，；当时，.
所以函数在处取得极小值，符合题意.
② 当时，设，依然取.
则，令，得，
所以在上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
因为，所以（当且仅当时，等号成立，此时）.
所以对任意，都有恒成立.
所以当时，；当时，.
所以函数在处取得极小值，符合题意.
综上①②可知：当时是函数的极小值点.
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得 ，解得．
所以抛物线C的准线方程为 ．
（Ⅱ）设，
由得，则，所以．
所以线段中点的为纵坐标．
直线AO方程为┅①
直线BM方程为┅②
联立①②解得 ，即点的为纵坐标．
如果直线BM斜率不存在，结论也显然成立．
所以直线与轴平行．
20．（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以，
所以中的元素有.
（Ⅱ）先证充分性
因为对于任意的，都有，所以．
再证必要性
因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．
假设存在，使得．
所以或．
若，不妨设，则，
因为，．
所以，，这与矛盾．
所以．
当时，必有．
所以 对于任意，都有．
综上所述， “”的充要条件是“” ．
（Ⅲ）因为 ，
所以 为正数，当且仅当．
因为 对于任意的正整数，或，所以集合中，元素为正数的个数为
，
所以 所有的正数元素的和为.
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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