甘肃省天水市一中2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题Word版含答案.doc

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 天水市一中2019届高三第三次模拟考试 理科试题 ‎（满分：150分 时间：120分钟）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m=( )‎ A． B．0 C．1 D．0或1‎ ‎3．若满足约束条件，则的最小值为( )‎ A．1 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎4．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（ ） ‎ A．2 B．3 ‎ C．5 D．4‎ 5． ‎“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2‎ ‎6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则　　 A． B． C． D． ‎7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）‎ A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 ‎8．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 9． 外接圆的半径为，圆心为，且，，则 A． B． C． D． ‎10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则（ ）‎ A．1 B．2 C．2 D．2 ‎11.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，若，且，则有（ ）‎ A． B． C． D．不确定 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于________.‎ ‎14．已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为________．‎ ‎15．设＝，则二项式展开式中含项的系数是 ‎ ‎16．在实数集中定义一种运算“”，具有性质：‎ ‎（1）对任意，；（2）对任意，；‎ ‎（3）对任意，。‎ 则函数的最小值为_______.‎ 三、解答题（每小题12分，共60分）‎ ‎17．已知等比数列是递增数列，且，．‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎ ‎(2)若，求数列的前n项和．‎ ‎18．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：‎ 使用寿命 材料类型 个月 个月 个月 个月 总计 经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元。假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？‎ 参考数据：‎ 参考公式：回归直线方程为，其中 19． 在五面体中，四边形是正方形， ,‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明不等式.‎ 四、选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，）． 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于两点，且，求．‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围 参考答案 ‎1．C 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．C .10．B 11．C 12．A ‎11．正方体的对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，‎ 又水的体积是正方体体积的一半，‎ ‎∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为，故选C．‎ ‎12．函数满足，可得.‎ 由，易知，当时，，单调递减.‎ 由，则.当,则.‎ 当,则,，，即.故选A.‎ ‎13．-1 14． 15． 16．‎ ‎16．因为在（3）中，对任意， ‎ 令，代入得 由（1）中可得 由（2）中，化简可得 所以因为 由基本不等式可得 所以最小值为3‎ ‎17（1）；（2）.‎ 解：由是递增等比数列，，，；解得：，；数列的通项公式：；‎ 由，；‎ 那么，‎ 则，‎ 将得：；‎ 即：．‎ ‎18．（1），预计甲公司2019年3月份的利润为百万元（2）见解析 解（1）由折线图可知统计数据共有组，‎ 即，，，，，，‎ 计算可得，，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.‎ 当时，.故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元。‎ ‎（2）由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为.，，和，‎ 所以每包型新材料可产生的利润期望值 ‎ .‎ 由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为，，和，‎ 所以每包型新材料可产生的利润期望值 ‎ .‎ ‎.所以应该采购型新材料。‎ ‎19．（1）见解析；（2）‎ ‎（1）证明：由已知，且平面，平面，‎ 所以平面．又平面平面，‎ 故．又，所以四边形为等腰梯形．‎ 因为，所以，所以，所以．‎ 因为，且，所以平面.所以．‎ 又，∴平面，又平面，所以．‎ ‎（2）如图，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得． ‎ 设直线与平面所成的角为，，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．（1）（2）见解析 ‎（1）在中，令，得，解得.‎ 由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，‎ 得，所以.①‎ 因为直线：与椭圆相切，则.②‎ 将②代入①，得.故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.‎ 联立得，‎ 则恒成立.‎ 所以，，‎ ‎ .‎ 因为，所以.即.‎ 即 ，‎ 得，得，‎ 即，解得；∴直线存在，且的取值范围是.‎ ‎21．（1）当时函数在上单调递减; 当时函数在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）详见解析 ‎（1）解 ．当时，，从而，‎ 函数在上单调递减；‎ 当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）解 根据（1）函数的极值点是，若，则．‎ 所以，即，由于，即．‎ 令，则，‎ 可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以的最小值是，故只要即可，‎ 故的取值范围是．‎ ‎（3）证明不等式．‎ 构造函数，则，可知函数在上，‎ 即函数在上单调递增，由于，‎ 所以，所以，所以．‎ ‎22．（1）见解析；（2）或 ‎（1）当时，当时，．由得 ‎，因为，，所以的直角坐标方程． ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：‎ ‎，则，，‎ 因为，‎ 所以或，因为，所以，故或．‎ ‎23．（1）；（2）‎ ‎（1）时，可得，即，‎ 化简得：，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）①当时，，由函数单调性可得 ‎，解得； ‎ ‎② 当时，， ，所以符合题意； ‎ ‎③当时，，由函数单调性可得，，解得； 综上，实数的取值范围为.‎