2019中考数学一轮复习单元检测试卷
第十三单元 轴对称
考试时间：120分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
得 分
评卷人
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列银行图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．徽商银行 B．中国建设银行
C．交通银行 D．中国银行
2．如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．40° C．42° D．44°
4．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD
＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．α B．90°﹣α C．45° D．α﹣45°
5．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣6）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（3，6） D．（﹣6，﹣3）
6．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3），与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2019的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣72019 D．72018
7．在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（a，﹣5） C．
8．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
9．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
10．如图，将△ABC沿着过AP中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（ ）
A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
得 分
评卷人
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．
12．在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝ °．
13．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝ 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是 ．
得 分
评卷人
三、解答题（本大题共9小题，满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）
15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
17．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC是格点三角形，点B、C的坐标分别为（﹣5，1），（﹣4，5）．
（1）在图中画出相应的平面直角坐标系；
（2）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并标出点A1的坐标；
（3）若点P（a，b）在△ABC内，其关于直线l的对称点是P1，则P1的坐标是 ．
18．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．
19．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
20．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
21．如图，C为线段BD上一点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE；（书写过程）
（2）AC+CE的最小值是 ；
（3）根据（2）中的规律和结论，请画出示意图并在图中标注数据，直接写出代数式的最小值是 ．
22．如图所示，已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n等分（n为大于2的整数），并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形．
（1）当n＝5时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ，这些小等边三角形的面积和为 ；（用含S的式子表示）
（2）当n＝k时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ，这些小等边三角形的面积和为 ；（用含k和S的式子表示）
（3）若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？
23．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N．
（1）如图①，若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC＝80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选：A．
3．解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，
∵EG、FH分别为AC、AB的垂直平分线，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAC+∠FAB＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：D．
4．解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：B．
5．解：点M（﹣3，﹣6）关于y轴对称点的坐标为（3，﹣6），
故选：A．
6．解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣4，n＝3，
∴（m+n）2019＝（﹣4+3）2019＝﹣1，
故选：B．
7．解：∵直线m上各点的横坐标都是2，
∴直线为：x＝2，
∵点P（a，5）在第二象限，
∴a到2的距离为：2﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2＝4﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（﹣a+4，5）．
故选：D．
8．解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
9．解：∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC
∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°
∴△ADE是等边三角形．
故选：B．
10．解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．解：电子表的实际时刻是10：51．
故答案为：10：51．
12．解：∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝60°，
∴∠EAG＝120°，
∴∠AGE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠CGF＝∠QGE＝15°，
故答案为：15．
13．解：设∠A＝x．
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，
则180°﹣5x＝125°，
解，得x＝11°．
故答案为：11．
14．解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2019÷4＝504余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）
三．解答题（共9小题）
15．解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
16．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
17．解：（1）如图所示：
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）点P（a，b）关于直线l的对称点为P1，则点P1的坐标是（﹣4﹣a，b）．
故答案为：（﹣4﹣a，b）．
18．证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠1，
∴EA＝ED，
即△ADE是等腰三角形．
19．解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
21．解：（1）设CD＝x，则BC＝8﹣x，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
在Rt△CDE中，CE＝＝，
所有AC+CD＝AC＝+；
（2）当A、C、E共线时，AC+CE的值最小，即AC+CE的最小值为AE的长，
即C点为AE与BD的交点，
作EF⊥AB于F，如图，则BF＝DE＝1，EF＝BD＝8，
在Rt△AEF中，AE＝＝10，
即AC+CE的最小值为10，
故答案为10；
（3）如图2，AB＝3，DE＝2，BD＝12，
代数式的最小值为AE的长，即它的最小值为13．
故答案为13．
22．解：（1）当n＝5时，共有3×（5﹣2）＝9个小等边三角形，
∴每个小三角形与大三角形边长的比＝，
∵大三角形的面积是S，
∴每个小三角形的面积为S，这些小等边三角形的面积和为S；
（2）由（1）可知，当n＝k时，共有3×（k﹣2）＝3（k﹣2），每个小等边三角形的面积为S，每个小三角形的面积和为S．
故答案为：（1）9， S， S；（2）3（k﹣2），S， S；
（3）当S＝100，n＝10时，
3（n﹣2）＝3×（10﹣2）＝24（个），
S＝×100＝24．
即共向外作出了24个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24．
23．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAN＝100°﹣80°＝20°．
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．
微信/支付宝扫码支付