2019中考数学一轮复习单元检测试卷
第十七单元 勾股定理
考试时间:120分钟;满分:150分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
得 分
评卷人
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.下列各组数中,是勾股数的是( )
A.1、2、3 B.3、4、5 C.12、15、18 D.1、、3
2.如果3,a,5是勾股数,则a的值是( )
A.4 B. C.4或 D.4或34
3.如图,在正方形网格中,每个正方形的边长为1,则在△ABC中,边长为无理数的边数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在△ABC中,∠B=90°,若BC=3,AC=5,则AB等于( )
A.2 B.3 C.4 D.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,当AC=4,BC=2时,则阴影部分的面积为( )
A.4 B.4π C.8π D.8
6.如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为( )
A.2.2 B. C. D.
7.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
8.已知△ABC的三边为a,b,c,下列条件能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.a:b:c=1:1: B.a:b:c=1:1:
C.a:b:c=2:2:3 D.a:b:c=:2:
9.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中,即:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)( )
A.3 B.5 C.4.2 D.4
10.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”.设这个人的身高是5尺,秋千的绳索始终拉的很直,则绳索长为( )
A.12.5尺 B.13.5尺 C.14.5尺 D.15.5尺
得 分
评卷人
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.如图,长方形网格中每个小正方形的边长是1,△ABC是格点三角形(顶点都在格点上),则点C到AB的距离为 .
12.若CD是△ABC的高,AB=10,AC=6,BC=8,则CD的长为 .
13.有两根木棒,分别长6cm、5cm,要再在7cm的木棒上取一段,用这三根木棒为边做成直角三角形,这第三根木棒要取的长度是 .
14.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面规律,第5个勾股数组为 .
得 分
评卷人
三、解答题(本大题共9小题,满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分,19,20题每题10分,21,22题每题12分,23题14分)
15.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=BC=2,CD=1,求AD的长.
16.某广场内有一块空地ABCD如图所示,现计划在空地上种草皮,经测量,∠B=90°,AB=6m,BC=8m,CD=26m,AD=24m.求四边形ABCD空地的面积.
17.如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点,在正方形网格中分别画出下列图形:
(1)在网格中画出长为的线段AB.
(2)在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF.
18.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”,
(1)如图△ABC中,AB=AC=,BC=2,求证:△ABC是“美丽三角形”;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长.
19.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
20.如果a,b,c为正整数,且满足a2+b2=c2,那么,a、b、c叫做一组勾股数.
(1)请你根据勾股数的意思,说明3、4、5是一组勾股数;
(2)写出一组不同于3、4、5的勾股数 ;
(3)如果m表示大于1的整数,且a=4m,b=4m2﹣1,c=4m2+1,请你根据勾股数的定义,说明a、b、c为勾股数.
21.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形,写出勾股定理内容;
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理.
22.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),其两点间的距离P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.
(1)已知A(2,4)、B(﹣3,﹣8),试求A、B两点间的距离 ;
(2)已知M、N在平行于y轴的直线上,点M的纵坐标为4,点N的纵坐标为﹣1,试求M、N两点的距离为 ;
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(1,6)、E(﹣2,2)、F(4,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由.
(4)在(3)的条件下,平面直角坐标系中,在x轴上找一点P,使PD+PF的长度最短,求出点P的坐标及PD+PF的最短长度.
23.如图1,A村和B村在一条大河CD的同侧,它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米,又知道CD的长为4千米.
(1)现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选
方案1:水厂建在C点,修自来水管道到A村,再到B村(即AC+AB).(如图2)
方案2:作A点关于直线CD的对称点A',连接A'B交CD于M点,水厂建在M点处,分别向两村修管道AM和BM.(即AM+BM)(如图3)
从节约建设资金方面考虑,将选择管道总长度较短的方案进行施工,请利用已有条件分别进行计算,判断哪种方案更合适.
(2)有一艘快艇Q从这条河中驶过,当快艇Q在CD中间,DQ为多少时?△ABQ为等腰三角形?
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.解:A、∵12+22≠32,∴不是勾股数,此选项错误;
B、32+42=52,能构成直角三角形,是整数,故正确;
C、122+152≠192,不能构成直角三角形,故错误;
D、不是整数,此选项错误;
故选:B.
2.解:∵3,a,5是勾股数,
∴a=4,
故选:A.
3.解:由题意:AB==,BC==2,AC==3,
∵,2,3都是无理数,
故选:D.
4.解:在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AC=5,BC=3,
∴AB===4,
故选:C.
5.解:由勾股定理得,AB2=AC2+BC2=20,
则阴影部分的面积=×AC×BC+×π×()2+×π×()2﹣×π×()2
=×2×4+×π××(AC2+BC2﹣AB2)
=4,
故选:A.
6.解:∵AB=1,BC=2,BC⊥AB,
∴AC=AD==,
∴点D表示的数为:.
故选:D.
7.解:A、∵+c2+ab=(a+b)(a+b),
∴整理得:a2+b2=c2,即能证明勾股定理,故本选项不符合题意;
B、∵4×+c2=(a+b)2,
∴整理得:a2+b2=c2,即能证明勾股定理,故本选项不符合题意;
C、∵4×+(b﹣a)2=c2,
∴整理得:a2+b2=c2,即能证明勾股定理,故本选项不符合题意;
D、根据图形不能证明勾股定理,故本选项符合题意;
故选:D.
8.解:A、设a=x,则b=x,c=x,
∵(x)2+(x)2≠(x)2,
∴此三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意;
B、设a=x,则b=x,c=x,
∵(x)2+(x)2=(x)2,
∴此三角形是直角三角形,故本选项符合题意;
C、设a=2x,则b=2x,c=3x,
∵(2x)2+(2x)2≠(3x)2,
∴此三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意;
D、设a=x,则b=2x,c=x,
∵(x)2+(2x)2≠(x)2,
∴此三角形不是直角三角形,故本选项不符合题意;
故选:B.
9.解:设折断处离地面的高度OA是x尺,根据题意可得:
x2+42=(10﹣x)2,
解得:x=4.2,
答:折断处离地面的高度OA是4.2尺.
故选:C.
10.解:设绳索长为x尺,则
102+(x﹣5+1)2=x2,
解得:x=14.5.
故绳索长14.5尺.
故选:C.
二.填空题(共4小题)
11.解:设点C到AB的距离为h,
∵AB==5,
∴S△ABC=×2×3=×5×h,
∴h=1.2,
故答案为:1.2.
12.解:∵AB=10,AC=6,BC=8,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
∴•AB•CD=•AC•BC,
∴CD==4.8,
故答案为4.8.
13.解:①6cm是直角边,
第三根木棒要取的长度是=cm(舍去);
②6cm是斜边,
第三根木棒要取的长度是=cm.
故答案为: cm.
14.解:由勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…中,
4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…可得
第4组勾股数中间的数为4×(9+1)=40,即勾股数为(9,40,41);
第5组勾股数中间的数为:5×(11+1)=60,即(11,60,61),
故答案为:(11,60,61).
三.解答题(共9小题)
15.解:连接AC,
∵∠B=90°
∴AC2=AB2+BC2.
∵AB=BC=2
∴AC2=8.
∵∠D=90°
∴AD2=AC2﹣CD2.
∵CD=1,
∴AD2=7.
∴.
16.解:连接AC,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=62+82=102,
∴AC=10.
在△DAC中,CD2=262,AD2=242,
而242+102=262,
即AC2+AD2=CD2,
∴∠DCA=90°,
S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=•BC•AB+DC•AC,
=×8×6+×24×10=144(m)2,
答:四边形ABCD空地的面积是144m2.
17.解:(1)如图所示:线段AB即为所求;
(2)△DEF即为所求.
18.(1)证明:过点A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=BC=1,
由勾股定理得,AD==2,
∴AD=BC,即△ABC是“美丽三角形”;
(2)解:当AC边上的中线BD等于AC时,如图2,
BC==3,
当BC边上的中线AE等于BC时,
AC2=AE2﹣CE2,即BC2﹣(BC)2=(2)2,
解得,BC=4,
综上所述,BC=3或BC=4.
19.解:公路AB需要暂时封锁.
理由如下:如图,过C作CD⊥AB于D.
因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,
所以根据勾股定理有AB=500米.
因为S△ABC=AB•CD=BC•AC
所以CD===240米.
由于240米<250米,故有危险,
因此AB段公路需要暂时封锁.
20.解:(1)∵3、4、5是正整数,且32+42=52,
∴3、4、5是一组勾股数;
(2)∵122+162=202,且12,16,20都是正整数,
∴一组勾股数可以是12,16,20.答案不唯一;
故答案为12,16,20
(3)∵m表示大于1的整数,
∴由a=4m,b=4m2﹣1,c=4m2+1得到a、b、c均为正整数;
又∵a2+b2=(4m)2+(4m2﹣1)2=16m2+16m4﹣8m2+1=16m4+8m2+1,而c2=(4m2+1)2=16m4+8m2+1,
∴a2+b2=c2,
∴a、b、c为勾股数.
21.定理表述:
直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
证明:∵S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE,
=×2+,
又∵S四边形ABCD==,
∴=×2+,
∴(a+b)2=2ab+c2,
∴a2+2ab+b2=2ab+c2,
∴a2+b2=c2.
22.解:(1)AB==13,
故答案为:13;
(2)MN=4﹣(﹣1)=5;
故答案为:5;
(3)△ABC为等腰三角形.理由如下:
∵DE=5,EF=4﹣(﹣2)=6,DF==5,
∴DE=DF,
∴△DEF为等腰三角形;
(4)如图,作F关于x轴的对称点F′,连接FF′交x轴于P,
则此时,PD+PF的长度最短,
∵F(4,2),
∴F′(4,﹣2),
设直线PF′的解析式为:y=kx+b,
∴,
解得:,
∴直线PF′的解析式为:y=﹣x+,
当y=0时,x=,
∴P(,0),
∴PD+PF的最短长度==.
23.解:(1)方案1:AC+AB=1+5=6,
方案2:AM+BM=A′B==,
∵6<,
∴方案1更合适;
(2)如图,①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时,
CQ1=CQ4==2,
∴QG=2+2(舍去)或2﹣2(舍去);
②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时,
DQ==3,
∴QG=3+2=5或3﹣2=1(舍去),
③G为CD中点时,当AQ3=BQ3时,
(GQ3+2)2+11=(2﹣GQ3)2+42,
解得:GQ3=,
故当GQ=5或时,△ABQ为等腰三角形.