科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求解分式不等式可得：，
求解二次不等式可得：，
所以，故选C．
2. 复数，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：，
则复数的虚部是
故选A．
3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）
A. 各月的平均最高气温都不高于25度 B. 七月的平均温差比一月的平均温差小
C. 平均最高气温低于20度的月份有5个 D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
【答案】C
【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，
选项C的说法是错误的.
故选C．
4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ）
A. 140种 B. 70种 C. 35种 D. 84种
【答案】B
【解析】分两类：
（1）2男1女，有种；
（2）1男2女，有种，
所以共有+种，
故选B．
点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿
始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
5. 在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（ ）
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，首项为，
则：,
故，故选A．
6. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知过点的直线方程为，
联立方程消去得：.
设，，则，
所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，
故选D．
7. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且，故选B．
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】由题意知：输入的，则程序运行如下：
当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
此时程序结束，输出，故选C．
9. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，知为上的偶函数，
且当时，,为增函数，
故等价于不等式，
解得的取值范围为，
故选A．
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
10. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图，由，需满足函数的图象不在函数图象的下方，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，，
而由图可知函数则，
由题意可知，不等式的解集为，故选B．
11. 已知半径为5的球被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】分类讨论：
（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为.
（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为，综上所述，故选C．
12. 已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 存在直线，使得值为7
B. 存在直线，使得值为
C. 四边形的面积存在最大值，且最大值为6
D. 四边形的面积存在最小值，且最小值为
【答案】D
【解析】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；
由于，所以，
又
，
故
当不存在或，，故，综上所述C选项正确，
排除ABC选项，故选D．
点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，满足约束条件则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由，则为直线的截距，由图可知，当时，取到最小值.
14. 已知为数列的前项和，，当时，，则__________.
【答案】
【解析】由，且，所以，两式做差可得：，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以.
15. 在中，，，点为外接圆的圆心，则__________.
【答案】
【解析】如图，由是外接圆的圆心，取的中点，取的中点，连接，，所以
．
16. 在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】如图，由于为的角平分线，且，，
由角平分线定理知：，
令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：，
在中，由余弦定理知：，
所以： ，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为3.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及在区间的值域；
（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积.
【答案】(1)最小正周期，在区间的值域为. (2).
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式，据此可得函数的最小正周期，在区间的值域为.
(2)由题意结合(1)的结论和余弦定理可得的面积是.
试题解析：
（1） ， `
所以的最小正周期，
，
，，
所以函数在区间的值域为.
（2）由得，
又，，，
由及余弦定理得：， ，
又，代入上式解得，
的面积.
18. 随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代码
1
2
3
4
5
机动车保有量（万辆）
169
181
196
215
230
（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；
（2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；
（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.
附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
【答案】(1)答案见解析；(2).(3)245万辆.
【解析】试题分析：
(1)结合所给的数据绘制散点图即可；
(2)结合所给的数据计算可得回归方程为.
(3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆.
试题解析：
（1）数据对应的散点图如图所示.
（2），，，
所以回归直线方程为.
（3）代入2017年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
19. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，.
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合几何关系可得平面，结合面面垂直的性质有.
(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值是.
试题解析：
（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，
所以，又，所以，
又因为，而，且，
所以平面，又因为，
所以.
（2）解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
于是，
求得平面的一个法向量为，
由，求得平面的一个法向量
为，则，
所以二面角的余弦值为.
点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时
一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
20. 椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.
【答案】(1). (2)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为.
(2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点.
试题解析：
（1）解：，又，联立解得：，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
联立得.
，
整理得：，故，
又，(分别为直线PA，PB的斜率)，
所以，
所以直线PB的方程为：，
联立得，
所以以ST为直径的圆的方程为：，
令，解得：，
所以以线段ST为直径的圆恒过定点.
21. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)1.
【解析】试题分析：
(1)由题意求导可得，据此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.
试题解析：
（1）函数的定义域为，
由于在上是减函数，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由在上恒成立，
整理得：在上恒成立即可.
令，
当时，，以及在上，
得在上恒成立，
由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以有，即恒成立，
所以正整数k的最小值为1.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系.
（1）求抛物线的极坐标方程；
（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析：
(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线的极坐标方程是；
(2)结合(1)中的结论和三角函数的性质可得的最大值为.
试题解析：
（1）由抛物线的定义得：，
即：.
（2）由（1）得：
，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当取何值时，恒成立.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意分类讨论可得不等式的解集为；
(2)原问题等价于，将函数的解析式整理为可得.
试题解析：
（1）由有：，
所以，
即或或
解得不等式的解集为.
（2）由恒成立得即可.
由（1）得函数的定义域为，
所以有所以，
即.
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