唐山一中高二年级2016年12月份考试
数学试卷（理）
说明：1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）
1．已知向量a=（1，1，0），b=（﹣1，0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是 （ ）
A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4
3．设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
4．若直线2ax＋by－2＝0（a，b∈R+）平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则+的最小值是 （ ）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使·=0，则| PF1 |•| PF2 |= （ ）
A．b2 B．2b2 C．2b D．b
8．如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为 （ ）
A． B．2
C． D．
9.下列四个结论：
①若，则恒成立；
②命题“若”的逆命题为“若”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④命题“”的否定是“”.
其中正确结论的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10．如图，已知双曲线的
左右焦点分别为F1、F2，| F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，
直线PF2交y轴于点A，△APF1的内切圆切边PF1于点Q，
若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A．y=±x B．y=±3x
C．y=±x D．y=±x
11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为 （ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1A的中点，
P为底面ABCD内一动点，设PD1 、PE与底面ABCD所成
的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2，
则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）
13．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围为___________.
14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.
15．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3则S12＋S22＋S32=____________.
16．如图，正方体A1B1C1D1－ABCD，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－PCD1的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线
其中真命题的个数是__________________个.
三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）
17. （本小题满分10分）
命题：直线与圆相交于两点；命题：曲线表示焦点在y轴上的双曲线，若为真命题，求实数k的取值范围．
18. （本小题满分12分）
已知圆 上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
19. （本小题满分12分）
已知三棱柱，底面三角形为正三角形，
侧棱 底面，，为的中点，
为的中点
（1）求证：直线平面
（2）求到平面的距离.
20.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，
且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，
CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．
21. （本小题满分12分）
已知圆，点，以线段AB为直径的圆内切于圆，记点B的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线AB交圆于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.
22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）
已知抛物线,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(A在第一象限).
(Ⅰ)当时,求直线l的方程;
(Ⅱ)过点作抛物线C的切线与圆交于不同的两点M,N,设F到
的距离为d,求的取值范围
23. （英才班必做，本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（ I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．
一． 选择题：DADDD ABABD AB
二． 填空题 13. 14. 15.3 16.(1)(3)(4)
三． 解答题
17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离，∴，（4分）
∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，
∴，解得k＜0，（8分）
∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，
∴，
解得k＜﹣2．（10分）
18.解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）
∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．
19.
20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．
∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．
取AB的中点O，连结OC，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，
根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，
∴OD是CD在平面ABDE上的射影，
∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．
∴sin∠CDO=，而OC=，
∴CD=2，∴BD=2．
取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，
取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，
所以，所以EF⊥面DBC．
（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，
又，
取平面DEC的一个法向量
设平面BCE的一个法向量，则
又，
所以，令x=1，则y=，z=2．
由此得平面BCE的一个法向量．
则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．
21.
其中，a＝2，，b＝1，则
曲线Γ的方程为． …5分
或． …12分
22.解:(1),.
设,,则,
故,
.
因此直线l的方程为.
(2)因为,因此,
故切线的方程为,
化简得,
则圆心到的距离为,且,故.
则,
则点F到的距离,
则,
令,.
则,
故.
23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，
∵，
∴a2=2c2，
∴a2=2b2，
设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为，
∴，
∴，
又a2=2b2，
解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±
∴A（r，），B（r，﹣），
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴r2﹣=0，
∴r2=，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），
（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，
∵l与圆O相切
∴=r，即m2=（1+k2）r2，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①
△=8k2+4﹣m2＞0，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），
又∵m2=（1+k2）r2，
∴3（1+k2）r2=8（1+k2），
∴r2=，
此时m2=（1+k2），代入②式后成立，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=•，
=•，
=••，
=••，
=•，
=•，
=•；
（i）若k=0，则|AB|=，
（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，
综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．
一． 选择题：DADDD ABABD AB
二． 填空题 13. 14. 15.3 16.(1)(3)(4)
三． 解答题
17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离，∴，（4分）
∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，
∴，解得k＜0，（8分）
∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，
∴，
解得k＜﹣2．（10分）
18.解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）
∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．
19.
20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．
∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．
取AB的中点O，连结OC，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，
根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，
∴OD是CD在平面ABDE上的射影，
∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．
∴sin∠CDO=，而OC=，
∴CD=2，∴BD=2．
取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，
取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，
所以，所以EF⊥面DBC．
（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，
又，
取平面DEC的一个法向量
设平面BCE的一个法向量，则
又，
所以，令x=1，则y=，z=2．
由此得平面BCE的一个法向量．
则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．
21.
其中，a＝2，，b＝1，则
曲线Γ的方程为． …5分
或． …12分
22.解:(1),.
设,,则,
故,
.
因此直线l的方程为.
(2)因为,因此,
故切线的方程为,
化简得,
则圆心到的距离为,且,故.
则,
则点F到的距离,
则,
令,.
则,
故.
23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，
∵，
∴a2=2c2，
∴a2=2b2，
设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为，
∴，
∴，
又a2=2b2，
解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±
∴A（r，），B（r，﹣），
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴r2﹣=0，
∴r2=，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），
（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，
∵l与圆O相切
∴=r，即m2=（1+k2）r2，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①
△=8k2+4﹣m2＞0，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），
又∵m2=（1+k2）r2，
∴3（1+k2）r2=8（1+k2），
∴r2=，
此时m2=（1+k2），代入②式后成立，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=•，
=•，
=••，
=••，
=•，
=•，
=•；
（i）若k=0，则|AB|=，
（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，
综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．
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