第六章 图形的初步知识
本章总结提升
问题1 几何图形
常见的立体图形有哪些？平面图形和几何图形有什么关系？
例1 以长方形的一边所在直线为轴把长方形绕轴旋转一周，得到的立体图形是什么？你能画出示意图吗？
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【归纳总结】 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形(平面图形和立体图形)．
问题2 探索图形的个数
探索图形的个数问题在本章有哪些类型？在计数问题中怎样做到不重不漏？
例2 同一平面内有四点，每过两点画1条直线，则直线的条数是( )
A．1条 B．4条
C．6条 D．1条或4条或6条
【归纳总结】
1．数直线的条数：过不在同一直线上的n个点中的任意两点画直线，最多可画条；
2．数线段的条数：线段上有n个点(包括线段的两个端点)，共有条线段；
3．数角的个数：如图6－T－1所示，以O为端点引n条射线，若∠AOB＜180°，则图中小于平角的角有个；
图6－T－1
4．数交点的个数：平面内的n条直线最多有个交点；
5．数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成个部分．
问题3 计算线段的长度
求线段的长度的问题通常利用什么方法解决？你能根据题意画出图形采用分类讨论思想和数形结合思想进行计算吗？
例3 如图6－T－2所示，已知线段AB＝32 cm，点C在AB上，且AC∶CB＝5∶3，D是AC的中点，O是AB的中点，求DB与OC的长．
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图6－T－2
问题4 角的相关计算
角的计算问题通常利用什么数量关系求解？没有给出图形的题目，你能根据题意画出不同的图形来分类求解吗？
例4 如图6－T－3，已知∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC∶∠AOD＝7∶11，求∠AOC的度数．
图6－T－3
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【归纳总结】 求线段的长或角的度数时常用到的思想方法：
(1)数形结合思想：借助图形寻找线段(或角)之间的和差关系.
(2)方程思想：先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量.
(3)在题目中没有画出图形的情况下，首先要根据题意画出图形，再采用分类讨论的思想方法进行分析求解，避免漏解．
问题5 最优策略
在本章的最短路线实际问题中，常借助哪些结论来解决？
例5 如图6－T－4①所示，小明准备在C处牵牛到河边AB饮水．
(1)请作出小明行走的最短路线(不考虑其他因素)；
(2)如图②所示，若小明在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请作出小明行走的最短路线．
图6－T－4
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【归纳总结】 实际问题中最短路线问题常用的结论：
(1)两点之间线段最短(后面要学习的相关结论均是由此结论推导而得)．
(2)垂线段最短．
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详解详析
【整合提升】
例1 解：(1)以长方形的一边所在直线为轴把长方形旋转一周，得到的立体图形是圆柱．有两种情形，如图所示．
例2 [解析]D 同一平面内有四点，四点的具体位置不确定，如果四点在同一直线上，那么只能画1条直线；当其中三点处于同一直线上时，共能画4条直线；当没有三点处于同一直线上时，共能画6条直线，所以答案应为D.
例3 [解析] 从图上可以看出DB＝AB－AD，而D是AC的中点，所以AD＝AC，结合AC∶CB＝5∶3，AB＝32 cm，故AC和CB可求，通过OC＝OB－CB＝AB－CB可求OC.
解：设AC＝5k cm，CB＝3k cm，则AB＝AC＋CB＝5k＋3k＝8kcm.
∵AB＝32cm，即8k＝32，∴k＝4，
因此AC＝20 cm，CB＝12cm.
∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝10 cm，
∴DB＝AB－AD＝32－10＝22(cm)．
∵O是AB的中点，∴OB＝AB＝16 cm，
∴OC＝OB－CB＝16－12＝4(cm)，
∴DB＝22 cm，OC＝4 cm.
[点评] (1)在求线段的长度时，我们常常结合图形转化为求相关线段的和或差，再结合线段中点的定义等进而求解(化未知为已知)．
(2)从本例中我们还应注意到：通过设未知数用方程去解此类问题，快捷方便，在有关线段或角的和、差、倍、分的条件下，我们应大胆尝试，灵活运用．
例4 解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝(90－x)°，∠AOD＝(90＋x)°.
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因为∠BOC∶∠AOD＝7∶11，
所以(90－x)°∶(90＋x)°＝7∶11，
解得x＝20，故∠AOC＝20°.
例5 [解析] 直线外一点到直线的最短距离即直线外一点到直线的垂线段的长度，题图①中，只需过点C作AB的垂线段即可；两点之间线段最短，所以题图②中只需连结CD即可．
解：(1)如图①，过点C作CE⊥AB，CE即为所求．
(2)如图②，连结CD，CD即为所求．
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