第五章 相交线与平行线
1.相交线
(1)对顶角与邻补角
①对顶角:
要点记忆:两个角有公共顶点;两个角的两边互为反向延长线.
性质:对顶角相等.
易错点:对顶角是具有一种特殊的位置关系的两个角;而相等角只强调两个角的相等关系,这两个概念是不同范畴的概念,对顶角的大小相等,但相等的角不一定是对顶角.
②邻补角:
性质:邻补角互补.
易错点:邻补角是位置特殊的互补的角.邻补角是互补的角,但互补的角不一定是邻补角.
【例】如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD=134°,则∠AOC的度数为
( )
A.134° B.144° C.46° D.32°
【标准解答】选C.∵∠AOD+∠AOC=180°,∴∠AOC=180°-134°=46°.
1.下列图形中,∠1与∠2不是对顶角的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC∶∠EOD=2∶3,则∠BOD=
( )
A.30° B.36° C.45° D.72°
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2题图
3题图
3.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3的度数等于 ( )
A.90° B.150° C.180° D.210°
(2)垂直
①垂直是相交的特例,两条线段垂直(或两条射线垂直)指它们所在的直线垂直,所以有时作垂线时要延长线段(或反向延长射线).
②表示方法:两条直线互相垂直,可表示为a⊥b于点O或表示为:AB⊥CD于点O.
【例】如图,直线AB与直线CD相交于点O,MO⊥AB,垂足为O,已知∠AOD=136°,则∠COM的度数为 ( )
A.36° B.44° C.46° D.54°
【标准解答】选C.∵∠AOD=136°,
∴∠BOC=136°,
∵MO⊥OB,∴∠MOB=90°,
∴∠COM=∠BOC-∠MOB
=136°-90°=46°.
1.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD于点O,∠AOE=36°,则∠BOD= ( )
A.36° B.44° C.50° D.54°
1题图
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2题图
3题图
2. 如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠COB内一点,且OE⊥AB,∠AOC=35°,则∠EOD的度数是 ( )
A.155° B.145° C.135° D.125°
3.如图,直线AB与直线CD交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOC,若∠BOD=70°.
则∠EOF的度数为 ( )
A.115° B.125°
C.135° D.145°
4.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠COF=90°.
(1)若∠BOE=70°,求∠AOF的度数.
(2)若∠BOD∶∠BOE=1∶2,求∠AOF的度数.
5.如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOM=90°.
(1)如图1,若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数.
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(2)如图2,若∠BOC=4∠NOB,且OM平分∠NOC,求∠MON的度数.
2.平行线的性质与判定
(1)平行线的性质
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②如果两条直线都和已知直线平行,那么这两条直线也互相平行.
③两直线平行⇒
(2)与平行有关的辅助线的作法
如图,两条平行线之间有折线,那么辅助线一般是过折线的节点作平行线,下面是常见的折线问题.
①折线在两条平行线内部:
②折线在两条平行线外部:
(3)利用内错角、同位角相等或同旁内角互补判定两直线平行,一定要分清哪一条是截线,哪两条是被截线;两条直线平行的判定和性质叙述文字也几乎一样,只不过文字的叙述顺序颠倒了,这个颠倒正是它们的本质区别,不能混淆.
【例】直线a,b,c,d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于( )
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A.58°
B.70°
C.110°
D.116°
【标准解答】选C.
∵∠1=∠2=58°,
∴a∥b,
∴∠3+∠5=180°,
即∠5=180°-∠3=180°-70°=110°,
∴∠4=∠5=110°.
1.如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为 ( )
A.互余 B.相等 C.互补 D.不等
1题图
2题图
15
4题图
2.如图,AB∥CD,CB平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A.90° B.100° C. 110° D. 120°
3.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( )
4.如图,AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于 ( )
A.122° B.151°
C.116° D.97°
5.以下四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是
( )
A.如图1,展开后,测得∠1=∠2
B.如图2,展开后,测得∠1=∠2,且∠3=∠4
C.如图3,测得∠1=∠2
D.如图4,展开后,再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得OA=OB,OC=OD
6.如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的值为 ( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 70°
6题图
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7题图
8题图
7.如图,下列说法错误的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥c
D.若∠3+∠5=180°,则a∥c
8.如图,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD,若∠ECA为α度,则
∠GFB为 度.(用关于α的代数式表示)
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9. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2= °.
10.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.
3.平移性质的应用
(1)应用平移的性质解决与周长或面积有关的计算问题的关键:抓住平移前后图形的大小和形状没有发生改变,对应点的连线平行且相等,得到线段的长度再进行计算.
(2)应用平移的性质,可以把分散的线段集中到一个图形之中,便于进行证明或计算.
【例1】如图,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移2 cm到△DEF,已知BC=5 cm,那么EC的长度为 ( ).
A.2 cm
B.3 cm
C.5 cm
D.7 cm
【标准解答】选B.根据平移的性质,
易得=BE=5-EC=2,所以EC=3.
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【例2】如图,将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF,其中AB=8,BE=10,DM=4,求阴影部分的面积是 .
【标准解答】∵将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF,∴△ABC≌△DEF,
∵S阴影=S△DEF-S△MEC=S△ABC-S△MEC
=S梯形ABEM,
∴S阴影=(AB+ME)·BE·
=(8+4)×10×=60.
答案:60
1.如图,△ABC平移后得到△DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠DFK为
( )
A.60° B.35° C.120° D.85°
1题图
2题图
2.如图,将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF,若△ABC的周长为20 cm,则四边形ABFD的周长为 ( )
A.20 cm B.22 cm
C.24 cm D.26 cm
3.直径为4 cm的☉O1,平移5 cm到☉O2,则圆中阴影部分面积为 ( )
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A.20 cm2
B.10 cm2
C.25 cm2
D.16 cm2
4.如图,△ABC沿直线BC方向向右移了3厘米,得△FDE,且BC=6厘米,∠B=40°.
(1)求BE的长.
(2)求∠FDB的度数.
(3)找出图中相等的线段(不另添加线段).
(4)找出图中互相平行的线段(不另添加线段).
答案解析
1.相交线
【跟踪训练】
1.【解析】选C.根据对顶角的定义可知:图中只有第二个是对顶角,其他都不是.
2.【解析】选B.∵∠EOC∶∠EOD=2∶3,
∴∠EOC=180°×=72°,
∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°,
∴∠BOD=∠AOC=36°.
3.【解析】选C.可知,∠FOB=∠1,
∵∠2+∠3+∠FOB=180°,
∴∠1+∠2+∠3=180°.
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【跟踪训练】
1.【解析】选D.∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°,
又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,
∠AOE=36°,
∴∠BOD=54°.
2.【解析】选D.∵∠AOC=35°,
∴∠BOD=35°,
∵EO⊥AB,∴∠EOB=90°,
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+35°=125°.
3.【解析】选B.由OE⊥AB,得∠AOE=90°.
由对顶角相等,得∠AOC=∠BOD=70°,
由OF平分∠AOC,
得∠AOF=∠AOC=35°,
由角的和差,得∠EOF=∠AOF+∠AOE=35°+90°=125°.
4.【解析】(1)∵OE平分∠BOC,∠BOE=70°,
∴∠BOC=2∠BOE=140°,
∴∠AOC=180°-140°=40°,
又∠COF=90°,
∴∠AOF=90°-40°=50°.
(2)∵∠BOD∶∠BOE=1∶2,
OE平分∠BOC,
∴∠BOD∶∠BOE∶∠EOC=1∶2∶2,
∴∠BOD=36°,∴∠AOC=36°,
又∵∠COF=90°,
∴∠AOF=90°-36°=54°.
5.【解析】(1)∵∠AOM=90°,
OC平分∠AOM,
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∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°,
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOD=180°-∠AOC
=180°-45°=135°.
(2)∵∠BOC=4∠NOB,
∴设∠NOB=x°,∠BOC=4x°,
∴∠CON=∠COB-∠BON
=4x°-x°=3x°,
∵OM平分∠CON,
∴∠COM=∠MON=∠CON=x°,
∵∠BOM=x°+x°=90°,∴x°=36°,
∴∠MON=x°=×36°=54°.
2.平行线的性质与判定
【跟踪训练】
1.【解析】选A.∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠DBA=180°.
∵AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,
∴∠BAO=∠CAB,∠ABO=∠DBA,
∴∠BAO+∠ABO=∠CAB+∠DBA
=90°.
2.【解析】选B.∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠C=40°,
又∵CB平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠ABC=80°,
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又∵AB∥CD,∴∠ABD+∠D=180°,
∴∠D=100°.
3.【解析】选B.B中∠1与∠2是内错角,
∵∠1=∠2,根据内错角相等两直线平行,可推出AB∥CD.
4.【解析】选B.∵AB∥CD,∠1=58°,
∴∠EFD=58°,
又∵FG平分∠EFD,
∴∠GFD=∠EFD=29°,
∵AB∥CD,∴∠FGB+∠GFD=180°,
∴∠FGB=151°.
5.【解析】选C.选项A中∠1=∠2时,根据内错角相等两直线平行,可知a∥b,选项B中,∠1=∠2,且∠3=∠4,且∠1+∠2=180°,且∠3+∠4=180°,所以∠1=
∠2=90°,且∠3=∠4=90°,所以a∥b,选项D中OA=OB,OC=OD,故四边形ADBC是平行四边形,所以a∥b,选项C中,∠1=∠2,不能确定a,b平行.
6.【解析】选B.延长ED交BC于F,
∵AB∥DE,∠ABC=70°,
∴∠MFC=∠B=70°,
∵∠CDE=140°,
∴∠FDC=180°-140°=40°,
∴∠C=∠MFC-∠MDC=70°-40°=30°.
7.【解析】选C.A、若a∥b,b∥c,则a∥c,利用了平行公理,正确;
B、若∠1=∠2,则a∥c,利用了内错角相等,两直线平行,正确;
C、∠3=∠2,不能判断b∥c,错误;
D、若∠3+∠5=180°,则a∥c,利用同旁内角互补,两直线平行,正确.
8.【解析】∵∠ECA=α度,
∴∠ECB=(180-α)度.
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∵CD平分∠ECB,
∴∠DCB==度.
∵FG∥CD,
∴∠GFB=∠DCB=度.
答案:
9.【解析】如图,延长AB交l2于点E,
∵l1∥l2,∴∠3=∠1=40°,
∵∠α=∠β,∴AE∥CD,
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.
答案:140
10.【解析】∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠1=65°,
∠ABD+∠BDC=180°.
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠ABC=130°,
∴∠BDC=180°-∠ABD=50°,
∴∠2=∠BDC=50°.
3.平移性质的应用
【跟踪训练】
1.【解析】选C.∵△ABC平移后得到△DEF,
∴∠D=∠A=85°,∠DEF=∠B=35°,
∴∠DFK=∠D+∠DEF=120°.
2.【解析】选D.∵△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF,
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∴DF=AC,AD=CF=3 cm,
∵△ABC的周长为20 cm,
即AB+BC+AC=20 cm,
∴AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=20+3+3=26(cm),
即四边形ABFD的周长为26 cm.
3.【解析】选A.圆中阴影部分面积=5×4=20(cm2).
4.【解析】(1)∵△ABC沿直线BC方向向右移了3厘米,∴CE=BD=3 厘米,
∴BE=BC+CE=6+3=9(厘米).
(2)∵∠FDE=∠B=40°,∴∠FDB=140°.
(3)相等的线段有:AB=FD,AC=FE,BC=DE,BD=CE.
(4)平行的线段有:AB∥FD,AC∥FE.
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