第八章 二元一次方程组
1.二元一次方程组的解法选择技巧
(1)当方程组中某一个未知数的系数是1或-1时,选用代入消元法.
(2)当方程组中某一个方程的常数项为0时,选用代入消元法.
(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时,选用加减消元法.
(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系时,选用加减消元法.
(5)当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法,从而使原方程组变为结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.
【例1】解方程组:
【标准解答】将①代入②得:
5x+2x-3=11,
解得:x=2,
将x=2代入①得:y=1,
则方程组的解为
【例2】解方程组:
【标准解答】方法一(代入消元法):
由①得x=8-3y③,
把③代入②得5(8-3y)-3y=4,
解得y=2,
把y=2代入③得x=2,
所以方程组的解为
方法二(加减消元法):
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①+②得,6x=12,解得x=2,
将x=2代入①,得y=2,
所以方程组的解为
【例3】解方程组
【标准解答】方法一:②×3-①×2,
得5y=10,
所以y=2,把y=2代入①,
解得x=1.
所以原方程组的解为
方法二:由①+②,并整理,
得x+y=3.③
由①-②,得 x-y=-1.④
由③+④,并整理,得x=1.
把x=1代入③,得y=2.
所以原方程组的解为
【例4】解方程组
【标准解答】设=m,=n.
原方程组可化为
解得
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∴
即
解得
∴原方程组的解为
1.解方程组
2.解方程组
3.阅读探索
(1)知识积累
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解方程组 ,
解:设a-1=x,b+2=y,原方程组可变为
解方程组,得即
所以
此种解方程组的方法叫换元法.
(2)拓展提高
运用上述方法解下列方程组:.
(3)能力运用
已知关于x,y的方程组,的解为,直接写出关于m,n的方程组的解为 .
2.巧求方程组中的字母系数
确定二元一次方程(组)中字母的取值,是一类常见的题目,解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识,得到含有字母系数的方程(组),然后解这个方程(组),求出待定字母.
(1)利用两个方程组的同解
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【例】已知关于x,y的方程组和的解相同,求a,b的值.
【标准解答】解方程组
得
将其代入ax+by=-1和2ax+3by=3,
得
解得
(2)借助给出的错解
【例】在解方程组时,甲同学因看错了b的符号,从而求得解为乙同学因看漏了c,从而求得解为 试求a,b,c的值.
【标准解答】由题意,甲同学的错解实际上满足方程组
把代入cx-y=4,得c=2;
把代入ax+by=13,
得3a+2b=13.
乙因看漏了c,但没看错方程ax-by=13,
因而求得的解满足这个方程,
即5a-b=13.
于是,可得关于a,b的方程组
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解得
所以a=3,b=2,c=2.
1.已知方程组 和有相同的解,求a2-2ab+b2的值.
2.甲乙共同解方程组由于甲看错了方程(1)中的a,得到方程组的解为乙看错了方程(2)中的b,得到方程组的解为试计算a2 010+的值.
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(3)等腰三角形和二元一次方程组的综合应用
【例】二元一次方程组的解x,y (x≠y)的值是一个等腰三角形两边的长,且这个等腰三角形的周长为8,求腰的长和m的值.
【标准解答】①当x为底边,y为腰长,
由题意,得
解得
∵2+2=4,∴不能构成三角形,
故此种情况不成立.
②当y为底边,x为腰长,
由题意,得
解得
∵2.4+2.8>2.8,
∴能构成三角形,
∴2.8+2.4=2m,
解得:m=2.6.
(4) 借助方程的变形
【例】已知3x+7y+z=35,4x+10y+z=40,求x+y+z的值.
【标准解答】由题意,得方程组
变形,得
由①×3-②×2,得x+y+z=25.
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在边长为1的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为“格点”,顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如,图中的三角形ABC是格点三角形,其中S=2,N=0,L=6;图中格点多边形DEFGHI所对应的S,N,L分别是 .经探究发现,任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数,则当N=5,L=14时,S= .(用数值作答)
3.三元一次方程组的消元策略
解三元一次方程组的基本思路是消元,即化三元为二元,从而转化为二元一次方程组求解,这里的关键是消元,解题时应根据题目的特点,灵活地进行消元.
(1)先消某个方程中缺少的未知数
【例】解方程组
【标准解答】(1)×2+(3),得5x+8y=7.(4)
(2)×8-(4),得21x=63,即x=3,从而,得y=-1,
把x=3,y=-1代入(1),得z=1
所以方程组的解为
(2)先消系数最简单的未知数
【例】解方程组
【标准解答】(1)+(2),得
5x-z=14, (4)
(2)-(3),得x-4z=-1, (5)
(4)-(5)×5,得19z=19,即z=1,
把z=1代入(4),得x=3,
把x=3,z=1代入(3),得y=8,
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所以方程组的解是
(3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数
【例】解方程组
【标准解答】(1)×2-(2),得
x+8z=11. (4)
(1)×3+(3),得10x+7z=37. (5)
解由(4)与(5)组成的方程组,得x=3,z=1,
把x=3,z=1代入(1),得y=2,
所以原方程组的解为
(4)设比值参数消元
【例】解方程组
【标准解答】设每一份为k,则
x=3k,y=2k,z=1.6k, (4)
把(4)代入(3)得3k+2k+1.6k=66,
∴k=10,
则x=3×10=30,
y=2×10=20,
z=1.6×10=16,
所以方程组的解是
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1.解方程组:
2.若x∶y∶z=2∶7∶5,x-2y+3z=6,求x,y与z的值.
4.利用方程组求与图形有关的问题
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结合几何图形知识,利用问题中的数量关系解决实际问题.
【例】小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形,如图(1)所示,恰好可以拼成一个大的矩形.
小红看见了,说:“我来试一试,”结果小红七拼八凑,拼成如图(2)那样的正方形,咳!怎么中间还留下了一个洞,恰好是边长为2 cm的小正方形!你能帮他们解开其中的奥秘吗?(提示:能求出小长方形的长和宽吗?)
【标准解答】设长方形长为x cm,宽为y cm,则
解得
故长方形长为10 cm,宽为6 cm.
如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
答案解析
1.二元一次方程组的解法选择技巧
【跟踪训练】
1.【解析】①-②,得-y=-5,所以y=5,
把y=5代入①,得x=17,
所以方程组的解是
2.【解析】①×2-②,得4x-1=8-5x,
解得:x=1,
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将x=1代入①,得y=2,
则方程组的解为
3.【解析】(2)设-1=x,+2=y,
方程组变形为:,
解得,即,
解得.
(3)能力运用
设,
可得,
解得.
答案:
2.巧求方程组中的字母系数
【跟踪训练】
1.【解析】解方程组,
得,把代入第二个方程组
得,解得,则a2-2ab+b2=22-2×2×1+12=1.
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2.【解析】将代入方程(2),
得4×(-3)-(-1)×b=-2,解得b=10.
将代入方程(1),
得5a + 5× 4=15,解得a=-1.
将a=-1,b=10代入a2 010+(-b)2 011,
得a2 010+=(-1)2 010+=1 -1 =0.
【跟踪训练】
【解析】观察可得图中格点多边形DEFGHI所对应的S,N,L分别是7,3,10,即S=7,N=3,L=10.
当S=2,N=0,L=6时,即2=6b+c,
当S=7,N=3,L=10时,即7=3a+10b+c,
在图形中取一个边长为2的格点正方形,容易得知S=4,N=1,L=8,
即,解得,
即S=N+L-1,
当N=5,L=14时,S=11.
答案:11
3.三元一次方程组的消元策略
【跟踪训练】
1.【解析】③-①,得x-2y=-8 ④,
解由②④组成的二元一次方程组,
得,
把代入①,得10+9+z=26,
14
解得z=7,
所以原方程组的解是.
2.【解析】因为x∶y∶z=2∶7∶5,
所以设x=2k,y=7k,z=5k,
又因为x-2y+3z=6,
所以2k-2×7k+3×5k=6,解得k=2,
所以x=4,y=14,z=10.
4.利用方程组求与图形有关的问题
【跟踪训练】
【解析】设AB=x,BC=y,则有
,
解得:.
答:羊圈的边长AB,BC都为20米.
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