北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
一、选择题(每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1. 已知命题,,则是
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】为:,.选C.
2. 设直线的倾斜角为,且,则a,b满足
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设有,因为,所以,所以,故,选D.
3. 已知p,q是简单命题,那么“是真命题”是“是真命题”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】试题分析:若是真命题,则为真命题,且为真,而为假命题,所以“是真命题”是为真命题的既不充分也不必要条件,所以答案为D.
考点:1.充要条件;2.含有逻辑联结词的命题的真假性.
4. 直线与圆交于E,F两点,则(O是原点)的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为,所以,而到直线的距离为,所以.选D.
5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、,下列命题正确的是
A. ,且,则
B. ,且,则
C. ,且,则
D. ,且,则m//n
【答案】B
【解析】在如图所示的正方体中, 平面 , 平面,平面平面,,异面,A错;在正方体中,平面平面,平面,平面,但是,C错;平面平面,平面, 平面 ,但是相交.排除A,C,D.选B.
6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为,所以,所以,椭圆的离心率为.选A.
7. 已知双曲线的焦点在x轴上,焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不妨设双曲线的标准方程为,所以,且,所以
,双曲线的标准方程为.选A.
8. 已知点A(2,1),抛物线的焦点是F,若抛物上存在一点P,使得最小,则P点的坐标为
A. (2,1) B. (1,1) C. (,1) D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线为,过作准线的垂线,垂足为,则,其中为到准线的距离,而,此时.选C.
点睛:在抛物线中,与焦点有关的最值问题,通常转化为与准线有关的最值问题.
9. 某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛,该校高一年级有1,2,3,4,四个班参加了比赛,其中有两个班获奖,比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”,已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是
A. 乙,丁 B. 甲,丙 C. 甲,丁 D. 乙,丙
【答案】B
【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误,若乙丁同时正确,根据乙的说法“班没有获奖,班获奖了”中奖情况有两种:班和班获奖或者班和班获奖,两种情况都说明丙同学的说法正确,这样就有丙乙丁三位同学的说法正确,所以不合题意,故只能乙丁两位同学说法同时错误,从而知甲丙两位同学说法正确,故选B.
10. 如图,正方体中,P为底面ABCD上的动点,于E,且PA=PE,则点P的轨迹是
A. 线段 B. 圆弧
C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】
如图,过做,垂足为,连接.因为 平面 , 平面,故
.又因 ,故平面,而平面, 所以. 因为 ,故 平面 ,则为直角三角形且,而,故,故,故为的角平分线,故为定点,又,故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.
点睛:题设中给出了,我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质,故在平面中作,通过空间中垂直关系的转化得到为定点,从而在一条定线段上.
二、填空题(每小题5分,共30分)
11. 已知直线与直线垂直,则实数a的值是________。
【答案】
【解析】因为两条直线垂直,故,所以.
12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围_______。
【答案】(1,5)
【解析】因为焦点在椭圆上,故,解得即.
13. 已知双曲线的方程为,则此双曲线的离心率为___________,其焦点到渐近线的距离为_____________。
【答案】 (1). (2). 1
【解析】(1),所以,故离心率为,渐近线方程为,所以焦点到它们的距离为.
14. 已知直线与抛物线相交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是____________。
【答案】(4,2)
【解析】设,由得到也就是,所以 ,故,因此中点坐标为.
点睛:直线与圆锥曲线的位置关系,通常联立方程,通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.
15. 若直线与曲线有公共点,则k的取值范围是_____________。
【答案】[0,1]
【解析】如图,曲线表示如图所示的半圆,表示过定点的动直线,当动直线在之间时,它与半圆总有公共点,又,,故,也即是.
点睛:注意表示半圆,又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值,所求范围在两个临界值之间.
16. 在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义P的“伴随点”为;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”,现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点A’,则点A’的“伴随点”是点A;
②单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C’关于y轴对称;
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线
其中的真命题是____________(写出所有真命题的序列)
【答案】②③
【解析】试题分析:对于①,若令,则其伴随点为,而的伴随点为,而不是,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为,则其伴随点为,仍在单位圆上,故②正确;对于③,设曲线关于轴对称,则与曲线表示同一曲线,其伴随曲线分别为与
,它们也表示同一曲线,又因为伴随曲线与关于轴对称,所以③正确;对于④,取直线上一点P(x,y),则其伴随点为 ,消参后轨迹是圆,故④错误.所以真命题为②③.
【考点】对新定义的理解、函数的对称性
【名师点睛】本题考查新定义问题,属于创新题,符合新高考的走向.它考查学生的阅读理解能力,接受新思维的能力,考查学生分析问题与解决问题的能力,新定义的概念实质上只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.本题新概念“伴随”实质是一个变换,一个坐标变换,只要根据这个变换得出新的点的坐标,然后判断,问题就得以解决.
三、解答题(共80分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知点A(-2,m)(m>0),圆
(I)写出圆C的标准方程;
(II)若过点A的圆的切线只有一条,求m的值及切线方程;
(III)若过点A且在两坐标轴上截距(截距不为零)相等的直线被圆截得的弦长为,求m的值。
【答案】(1) ;(2) ;(3)5.
【解析】试题分析:(1)配方可以得到圆的标准方程.(2)因为过的圆的切线只有一条,故在圆上,从而求得的坐标并求得的斜率,最后求出切线方程.(3)因为截距相等且不为零,故其斜率必为,故可设直线方程为,再利用垂径定理求出圆心到该直线的距离,构建关于的方程即可得到的解.
(1)圆的标准方程为:.
(2)由于过点 的圆的切线只有一条,则点在圆上,故 ,所以又,所以切线的斜率为 ,切线方程为 ,整理得到.
(3)因为过的直线在两坐标轴上截距相等且不为零,所以直线的斜率为,设直线方程为 ,也就是,又圆心到该直线的距离为,所以,解得(舎)或.
18. 已知椭圆W:,直线l过点(0,-2)与椭圆W交于两点A,B,O为坐标原点。
(I)求椭圆的离心率和短轴长;
(II)若直线l的斜率是2,求线段AB的长。
【答案】(1);;(II)
【解析】试题分析:(1)把椭圆方程化成标准形可得到椭圆的基本量,离心率即为.(2)利用弦长公式求解,其中为直线的斜率,,.
解析:(I)椭圆的标准方程为:,所以,,所以离心率为,短轴长为.
(II)直线,联立有,整理得,所以.
19. 如图,已知直三棱柱中,AB=BC,E为AC中点。
(I)求证:平面;
(II)求证:平面平面。
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(I)连接交与,则为的中位线,也就是,由这个结论可以证明平面.(II)要证平面平面,可证平面.它可以通过以及得到.
解析:(I)证明:连结,与交于点,连结,因为三棱柱是直三棱柱,所以四边形是矩形,点是中点,又为中点,所以因为平面,平面,所以平面.
(II)证明:因为,为中点,所以.又因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,从而.所以平面。因为平面,所以平面平面
20. 已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上。
(I)求抛物线C的方程;
(II)设直线l经过点A(-2,-1),且与抛物线C有且只有一个公共点,求直线l的方程。
【答案】(I);(II)当直线l的方程为,或
【解析】试题分析:(I)根据焦点坐标得到的值,从而得到抛物线的方程. (II)因为只有一个公共点,故联立后的方程只有一个实数根,可根据二次项的系数去讨论.
解析:(I)直线与的交点为,它是抛物线的焦点,故,,所以.
若,则直线,它与抛物线有一个公共点;
若,则,整理得到,或,所以直线或 .
21. 已知:椭圆C两焦点坐标分别为,,且经过点N。
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若过M(0,-4)的直线l交椭圆C于A,B两点,在y轴上是否存在点P,使得为等边三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(I)(II)
【解析】试题分析:(I)根据得到的大小,结合 可以得到椭圆的标准方程,注意焦点在轴上. (II)因为为等边三角形,所以可以看出的中垂线与轴的交点,设的中点为,那么,联立直线方程和椭圆方程后可以将该等式转化为关于斜率的方程,从而直线 及其中垂线的方程并求得的坐标.
解析:(I)设椭圆的标准方程为,则,所以,所以椭圆的方程为.
(II)直线的斜率必定存在,设直线,,.由可以得到,整理得到,,因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以,解得或 .又,的中点为 , ,解得,又中垂线的方程为,,所以, .
点睛:在圆锥曲线问题中,我们要注意寻找问题的几何特征,通过这些特征构建未知变量的方程或方程组去求解,在构建方程或方程组时需要利用韦达定理.
22. 已知集合,其中,将()中所有不同值的个数记为L(A)。
(I)设集合,,求L(P),L(Q);
(II)设集合,求L(B)的值(用含n的式子表示);
(III)求L(A)的最小值(用含n的式子表示)
【答案】(1);(2);(3)的最小值为.
【解析】试题分析:(I)根据定义可求出,.(II)集合中的构成等比数列,可以证明它们任意两者的和都是相异的,从而求得的值. (III)为了讨论问题方便,可以假设,从而诸中任意两个数的和中至少有个不相同的和,
特别当为等差数列时,,也就是的最小值为.
解析:(I)由,得 .
由,得.
(II)因为共有项,所以.
又集合,任取,
①当时,不妨设,则,即。
②当,时,,
因此,当且仅当,时,.
即所有的值两两不同,所以.
(III)不妨设,可得
,
故中至少有个不同的数,即.
事实上,设成等差数列,考虑,根据等差数列的性质,当时,;
当时,;
因此每个或等于中的一个,或等于中的一个。故对这样的,,所以的最小值为.
点睛:一般地,新定义问题可以根据题设给出的定义展开讨论.而对组合问题的最小值,我们可以先求出目标的一个范围,再通过特例验证等号成立,也就求出了目标的最小值.