高三数学(理)答案.pdf

蚌埠市 ２０１９届高三年级第二次教学质量检查考试 数学（理工类）参考答案及评分标准 一、选择题 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ 二、填空题： １３１６　　　　１４１５３３　　　　１５５ ３　　　　１６３π 三、解答题： １７（１２分） 解：（１）（方法一）由条件及两角和的正切公式得： ｔａｎ（∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ）＝ ｔａｎ∠ＰＡＢ＋ｔａｎ∠ＰＢＡ １－ｔａｎ∠ＰＡＢ·ｔａｎ∠ＰＢＡ＝ １ ３＋１ ２ １－１ ３×１ ２ ＝１， 而 ０＜∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＜π，所以∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝π ４， ３分………………………… 则∠ＡＰＢ＝π－（∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ）＝π－π ４＝３π ４， ∵ｔａｎ∠ＰＢＡ＝１ ２，∴ｓｉｎ∠ＰＢＡ＝１ 槡５ 在△ＰＡＢ中，由正弦弦定理知： ＰＡ ｓｉｎ∠ＰＢＡ＝ ＡＢ ｓｉｎ∠ＡＰＢ，即 ＰＡ＝ 槡４ １０ ５  ６分……… （方法二）作 ＰＤ⊥ＡＢ于 Ｄ，设 ＰＤ＝ｘ，则 ｘ ＡＤ＝１ ３，ｘ ＢＤ＝１ ２． 即 ＡＤ＝３ｘ，ＢＤ＝２ｘ ３分……………………………………………………………… 而 ＡＢ＝４，故 ｘ＝４ ５，∴ＰＡ＝ ＰＤ２＋ＡＤ槡 ２ ＝４ ５槡１０． ６分…………………………… （２）由（１）知，∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝π ４，而在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，ＣＡ 槡＝２２， ∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＰ＋∠ＰＡＢ＝π ４，所以∠ＣＡＰ＝∠ＰＢＡ， 则 ｃｏｓ∠ＣＡＰ＝２ 槡５  ９分……………………………………………………………… 在△ＰＡＣ中，由余弦定理， ＰＣ２＝ＡＣ２＋ＡＰ２－２ＡＣ·ＡＰ·ｃｏｓ∠ＣＡＰ ＝８＋３２ ５ 槡－２×２２× 槡４ １０ ５ × 槡２５ ５ ＝８ ５， ∴ＰＣ＝ 槡２ １０ ５ ， ∵ＰＣ２＋ＰＡ２＝ＡＣ２，∴∠ＡＰＣ＝９０° １２分…………………………………………… ）页４共（页１第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌１８（１２分） 解：（１）菱形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｈ分别为 ＡＢ，ＣＤ的中点， 所以 ＢＥ瓛ＣＨ，四边形 ＢＣＨＥ为平行四边形，则 ＢＣ∥ＥＨ， 又 ＥＨ平面 ＰＢＣ， 所以 ＥＨ∥平面 ＰＢＣ ３分…………………………………………………………… 又点 Ｅ，Ｆ分别为 ＡＢ，ＡＰ的中点，则 ＥＦ∥ＢＰ，ＥＦ平面 ＰＢＣ， 所以 ＥＦ∥平面 ＰＢＣ而 ＥＦ∩ＥＨ＝Ｅ点，所以平面 ＥＦＨ∥平面 ＰＢＣ ６分……… （２）菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝６０°，则△ＡＣＤ为正三角形， ∴ＡＨ⊥ＣＤ，ＡＨ 槡＝ ３，ＤＨ＝ＰＨ＝ＣＨ＝１ 折叠后，ＰＨ⊥ＡＨ， 又平面 ＰＨＡ⊥平面 ＡＢＣＨ，平面 ＰＨＡ∩平面 ＡＢＣＨ＝ＡＨ， 从而 ＰＨ⊥平面 ＡＢＣＨ ∵ＡＨ⊥ＣＤ，∴ＨＡ，ＨＣ，ＨＰ三条线两两垂直， 以ＨＡ→，ＨＣ→ ，ＨＰ→ 的方向分别为 ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴正方向建立空间直角坐标系， 则 Ｐ（０，０，１），Ｃ（０，１，０），Ｂ（槡３，２，０），ＣＢ→ ＝（槡３，１，０），ＣＰ→ ＝（０，－１，１） ９分…… 设平面 ＰＢＣ的法向量为ｍ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ｍ·ＣＢ→ ＝０ ｍ·ＣＰ→{ ＝０ ，即 槡３ｘ＋ｙ＝０ －ｙ＋ｚ{ ＝０， 令 ｙ 槡＝－ ３，得 ｘ＝１，ｚ 槡＝－ ３， ∴ｍ ＝（１， 槡－ ３， 槡－ ３） ∵平面 ＰＡＨ的一个法向量ｎ＝（０，１，０）， ∴ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝－槡３ 槡７ ＝－槡２１ ７ 设平面 ＰＡＨ与平面 ＰＢＣ所成锐二面角为 α 则 ｃｏｓα＝槡２１ ７  １２分………………………………………………………………… １９（１２分） 解：（１）由题意知｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ 槡｜＝２２，可得曲线的轨迹 Ｅ为焦点在 ｘ轴上的椭圆， 根据题设可知 ａ 槡＝ ２，ｃ＝１，故椭圆方程为：ｘ２ ２＋ｙ２＝１（ｙ≠０） ４分……………… （２）联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ ｘ２＋２ｙ２{ ＝２得：（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－２＝０， ６分………………………… 由 Δ＝（４ｋｍ）２－４（１＋２ｋ２）（２ｍ２－２）＞０，得：２ｋ２＋１＞ｍ２　　　① 设 ＭＮ的中点为 Ｐ，由韦达定理可知点 Ｐ点坐标为 －２ｋｍ ２ｋ２＋１， ｍ ２ｋ２( )＋１ ∴ＭＮ的垂直平分线 ｌ′方程为：ｙ－ ｍ ２ｋ２＋１＝－１ ｋ ｘ－－２ｋｍ ２ｋ２( )＋１ ９分………………… 若 ｌ′过 Ｂ（－１，０），把 Ｂ（－１，０）代入 ｌ′得：２ｋ２＋１＝ｍｋ　　　② 联立①②，消去 ｍ可得，ｋ２＜－１，此方程无解，∴ｋ不存在  故这样的直线不存在  １２分………………………………………………………… ２０（１２分） 解：（１）选取方案二更合适，理由如下： ①中介绍了，随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中的数据可 以看出从 ２０１４年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，２０１９年的实体店纯利 润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据  ）页４共（页２第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌②相关系数｜ｒ｜越接近 １，线性相关性越强，因为根据 ９年的数据得到的相关系数的 绝对值 ０２４５＜０６６６，我们没有理由认为 ｙ与 ｘ具有线性相关关系；而后 ５年的数 据得到的相关系数的绝对值 ０９８５＞０９５９，所以有 ９９％的把握认为 ｙ与 ｘ具有线 性相关关系  ６分…………………………………………………………………… （仅用①解释得 ３分，仅用②解释或者用①②解释得 ６分） （２）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了 １位，开网店的概率为 ３ ５，只开实体店的概率为 ２ ５， ８分…………………………………………………… 设只开实体店的店主人数为 ξ，则 ξ＝０，１，２，３，４，５ Ｐ（ξ＝０）＝Ｃ０ ５( )２ ５ ０ ·( )３ ５ ５ ＝２４３ ３１２５，Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ１ ５( )２ ５ １ ·( )３ ５ ４ ＝１６２ ６２５， Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ２ ５( )２ ５ ２ ·( )３ ５ ３ ＝２１６ ６２５，Ｐ（ξ＝３）＝Ｃ３ ５( )２ ５ ３ ·( )３ ５ ２ ＝１４４ ６２５， Ｐ（ξ＝４）＝Ｃ４ ５( )２ ５ ４ ·( )３ ５ １ ＝４８ ６２５，Ｐ（ξ＝５）＝Ｃ５ ５( )２ ５ ５ ·( )３ ５ ０ ＝ ３２ ３１２５ 所以，ξ的分布列如下： ξ ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｐ ２４３ ３１２５ １６２ ６２５ ２１６ ６２５ １４４ ６２５ ４３ ６２５ ３２ ３１２５ ∴ξ∽Ｂ ５，( )２ ５ ，故 Ｅξ＝５×２ ５＝２ １２分…………………………………………… ２１（１２分） 解：（１）证明：ｆ（ｘ）＝ｘ－１ ｘ＋１·ｅａｘ的定义域为（－∞，－１）∪（－１，＋∞） ｆ′（ｘ）＝ｅａｘ ａ（ｘ－１） ｘ＋１ ＋ ２ （ｘ＋１）[ ]２ ＝（ａｘ２＋２－ａ）ｅａｘ （ｘ＋１）２ ２分…………………………… 若 ０＜ａ≤２，则 ｘ∈（－∞，－１）∪（－１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）≥０， 若 ａ＞２，则 ｘ∈（－∞，－１）∪ －１，－ １－２ 槡( )ａ ∪ １－２ 槡 ａ，＋( )∞ 时，ｆ′（ｘ）＞０， ｘ∈ － １－２ 槡 ａ， １－２ 槡( )ａ 时，ｆ′（ｘ）＜０ ４分……………………………………… 综上：①当 ０＜ａ≤２时　ｆ（ｘ）在（－∞，－１）和（－１，＋∞）上单调递增 ②当 ａ＞２时，ｆ（ｘ）在（－∞，－１）， －１，－ １－２ 槡( )ａ 和 １－２ 槡 ａ，＋( )∞ 上单 调递增，在 － １－２ 槡 ａ， １－２ 槡( )ａ 上单调递减  ６分………………………… （２）ｇ′（ｘ）＝ 槡ｘ １ ２ｅ １ ２ｘ＋( )ｍ － １ ２槡ｘ ｅ １ ２ｘ＋ｍｘ－( )ｍ ｘ ＝（ｘ－１）ｅ １ ２ｘ＋ｍ（ｘ＋１） ２ 槡ｘ ｘ ＝ｘ＋１ ２ 槡ｘ ｘ · ｘ－１ ｘ＋１ｅ １ ２ｘ＋( )ｍ ，ｍ∈［０，１） 由（１）知，当 ｘ＞０时，ｈ（ｘ）＝ｘ－１ ｘ＋１·ｅ １ ２ｘ单调递增，且值域为（－１，＋∞）， ∴存在唯一的 ｔ，使得ｔ－１ ｔ＋１ｅ １ ２ｔ＝－ｍ， ８分…………………………………………… ∵ｍ∈［０，１），∴ －ｍ∈（－１，０］，而 ｈ（０）＝－１，ｈ（１）＝０，∴ｔ∈（０，１］． ）页４共（页３第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌当 ｘ∈（０，ｔ）时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调减； 当 ｘ∈（ｔ，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调增． ｈ（ｍ）＝ｅ １ ２ｔ＋ｍｔ－ｍ 槡ｔ ＝ｅ １ ２ｔ（３槡ｔ－ 槡ｔｔ） ｔ＋１ １０分…………………………………………… 记 ｋ（ｔ）＝ｅ １ ２ｔ＋ｍｔ－ｍ ｔ＋１ ，在 ｔ∈（０，１］时，ｋ′（ｔ）＝ｅ １ ２ｔ（ｔ－１）（ｔ２＋３） ２槡ｔ（ｔ＋１）２ ≥０，且 ｋ′（ｔ）＝０ 当且仅当 ｔ＝１． ∴ｋ（ｔ）单调递增，且 ｋ（０）＝０，ｋ（１）＝槡ａ ∴ｋ（ｔ）∈ ０，槡( ]ｅ，即 ｈ（ｍ）的值域为 ０，槡( ]ｅ． １２分………………………………… ２２（１０分） 解：（１）由题设，得 Ｃ１的直角坐标方程为 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１， 即 ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０， ２分……………………………………………………………… 故 Ｃ１的极坐标方程为 ρ２－２ρｓｉｎθ＝０， 即 ρ＝２ｓｉｎθ． ３分……………………………………………………………………… 设点 Ｑ（ρ，θ）（ρ≠０），则由已知得 Ｐ ρ，θ＋π( )２ ， 代入 Ｃ１的极坐标方程得 ρ＝２ｓｉｎθ＋π( )２ ， 即 ρ＝２ｃｏｓθ（ρ≠０）． ５分……………………………………………………………… （２）将 θ＝π ３代入 Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程得 Ａ槡３，π( )３ ，Ｂ １，π( )３ ７分…………………… 又∵Ｍ（４，０），所以 Ｓ△ＭＯＡ＝１ ２｜ＯＡ｜·｜ＯＭ｜ｓｉｎπ ３＝３， ８分………………………… Ｓ△ＭＯＢ ＝１ ２｜ＯＢ｜·｜ＯＭ｜ｓｉｎπ ３ 槡＝ ３， ９分…………………………………………… ∴Ｓ△ＭＡＢ ＝Ｓ△ＭＯＡ－Ｓ△ＭＯＢ 槡＝３－ ３． １０分……………………………………………… ２３（１０分） 解：（１）∵ｆ（ｘ）＝｜ａｘ＋１｜， ∴ｆ（ｘ）≤ａ，即 ａ＞０ ｜ａｘ＋１｜≤{ ａ，解得 －ａ－１ ａ ≤ｘ≤ａ－１ ａ ， ３分………………………… 又∵不等式 ｆ（ｘ）≤ａ的解集为 －３ ２，[ ]１ ２ ，∴ａ＝２， ５分…………………………… （２）依题意，ｆ（ｘ）＝｜２ｘ＋１｜， 故不等式 ｆ（ｘ）＜ａ｜ｘ｜＋ａ＋ｋ可化为｜２ｘ＋１｜＜２｜ｘ｜＋２＋ｋ 要使不等式存在解，即 ｘ＋１ ２ ＜｜ｘ｜＋１＋ｋ ２存在解，即 ｘ＋１ ２ －｜ｘ｜－１＜ｋ ２存在解， 令 ｇ（ｘ）＝ ｘ＋１ ２ －｜ｘ｜－１＝ －１ ２，ｘ≥０ ２ｘ－１ ２，０＞ｘ≥ －１ ２ －３ ２，ｘ＜－        １ ２ ， ８分………………………… ∴ｇ（ｘ）的最小值为 －３ ２，依题意得 ｋ ２＞－３ ２， ∴ｋ＞－３ １０分……………………………………………………………………… （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页４共（页４第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌