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吉林省实验中学2017--2018学年度上学期
高二年级数学学科（理科）期末考试试题
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是
(A) (－∞，2] (B) [－2，－1] (C) [－1,2] (D) [2，＋∞)
(3) 命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是( )
(A)∃x0∉∁RQ，x∈Q (B)∃x0∈∁RQ，x∉Q
(C)∀x∉∁RQ，x3∈Q (D)∀x∈∁RQ，x3∉Q
(4) 下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是
＝－0.7x＋a，则a＝( )
(A) 10.5 (B) 5.25 (C) 5.2 (D) 5.15
(5)某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）
(A)110 (B)100 (C)90 (D) 80
(6)“”是“方程表示双曲线” 的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)充要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(7) 正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 现将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）种.
(A)144 (B)120 (C)72 (D) 24
(9) 已知向量，，则的最小值是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(10) 袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
(A) (B) (C) (D)1
(11) 已知点分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线C上的一点，且满足，则的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(12) 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，，则椭圆的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
(13)若，则 . （用数
字作答）
(14) 2012年的NBA全明星赛于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奥兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是_______．
第16题图
第14题图
[来 15
14 第
(15) 已知点A,B的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2,则点的轨迹方程是 .
(16)原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”.某个家庭，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，如图，由细到粗(由右至左)，满七进一，那么孩子已经出生了 天.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分10分）
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： ， ，， ，.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分及中位数.
(18)（本小题满分12分）
设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值.
（19）（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，直线过与 交于两点，若，求直线 的方程．
（20）（本小题满分12分）
某球队有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（最终结果用数字作答）
（Ⅰ）男运动员3人，女运动员2名；
（Ⅱ）至少有1名女运动员；
（Ⅲ）队长中至少有1人参加；
（Ⅳ）既要有队长，又要有女运动员.
（21）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，点D为棱A1B1上的点.
(Ⅰ)证明：DF⊥AE；
(Ⅱ)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
（22）（本小题满分12分）
已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.
吉林省实验中学2017-2018届高二数学上学期期末答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
D
B
B
C
A
D
C
B
A
A
二、填空题
13. 14.
15. 16.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
(1)由图可得，；
(2)设平均分为,则
所以由直方图估计这100名学生的语文成绩平均分为73分，
中位数为（分）
18.(本小题满分12分)
设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值.
解：，
令，得;令，得，
由可得，又，所以
19.(本小题满分12分)
设直线，由，可得设，
则，所以
由，得，则，且
得，解得，即
20.(本小题满分12分)
(1);
(2);
(3)
(4)
注意：此题方法不唯一.
21.(本小题满分12分)
(1)证明 ∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊂面A1ACC1，AE⊂面A1ACC1，AA1∩AE＝A，∴AB⊥面A1ACC1.
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则有A(0,0,0)，E，F，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，
设D(x,0，z)，＝λ，且λ∈(0,1)，
即(x,0，z－1)＝λ(1,0,0)，∴D(λ，0,1)，
∴＝(－λ，，－1)，
∵＝，∴·＝－＝0，
∴DF⊥AE.
(2)存在点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.理由如下：
由(1)可知平面ABC的法向量n＝(0,0,1).
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，
则
∵＝(－，，)，＝，
∴ 即
令z＝2(1－λ)，则n＝(3,1＋2λ，2(1－λ)).
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍)，
∴当点D为A1B1中点时满足要求.
22.(本小题满分12分)
(2)设，则
为定值，所以，解得.
故存在定点，使得为定值.
(经检验，当与轴重合时也成立)
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