市一中高三第五次模拟考试
数学（文）试题
命题人：李柯
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知集合，，且则的可取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
3．已知数列是等差数列， ，则数列的前10项和为（ ）
A. 40 B. 35 C. 20 D. 15
4．设 为锐角，，，若与共线，则角( )
A. B. C. D.
5．运行左下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2
D. －1
6．某三棱锥的三视图如图右上所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的最长的棱长为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
A. B. C. D.
8．下列命题正确的是（ ）
A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
9．函数在的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10．在中， 是的中点， ，点在上且满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
11．定义在上的奇函数对任意都有，当 时，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
12．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知，则函数的单调递减区间是______.
14．已知，则=______
15．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且都是边长为的等边三角形，则三棱锥的体积是 ______
16．设动点满足，则的最小值是______
三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）△的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求△面积的最大值．
18. （本小题满分12分）
如图，边长为3的正方形所在平面与等腰
直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知数列中，，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列满足：，求的前项和.
20. （本小题满分12分）
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在（元）的概率.
21. （本小题满分12分）
已知， 是的导函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．
请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22. （本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
23. （本小题满分10分）
选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.
(Ⅰ)求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最大值.
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数学（文）试题
试卷答案
1【答案】B【解析】，对应点在第二象限.
2．D【解析】因为，则可得：
当时， ,当时
当时， ,综合可得： ;选D
点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数的取值问题. 因为，则可得： ,分， 和三种情况讨论，分别得的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意.
3．A【解析】是等差数列， ， ，故选A．
4．B【解析】因为与共线，所以 ，又因为为锐角，所以角。
本题选择B选项.
5．C【解析】试题分析：因为， ，所以，由算法框图可知，运行后输出的值为．
6．A【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面是底边为1，高为1的三角形，高，最长的棱所在的面是直角边长分别为1， 的直角三角形，斜边长为，故选A.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，考查了学生的空间想象能力解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度一般；由已知中的三视力可得该几何体是一个以左视图为底面的三棱锥，可得
7．D【解析】 ，因此当 时 ；当 时 ；所以选D.
8．B【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；
9.【答案】C【解析】当时，，令，即在区间只有一个零点，故应排除答案A、B、D，应选答案C 。
10．A
11．4．A【解析】此题考查函数的奇偶性、周期性性质的应用，因为此函数是定义在上的奇函数，所以，由知函数周期为4，
所以，选A
12． 1D
【解析】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D．
考点：分层抽样．
【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．
13．【解析】试题分析： ，故，令，令，解得：，而在对称轴，故在递增，故在递减，故答案为:.
14．【解析】试题分析：本题考查了三姊妹关系， ， ，三者密切相关，可知一求二.试题解析：，由,于是得
.
15．【解析】试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥的体积是，
16．-4【解析】试题分析：根据线性约束条件，画出可行域（如图）及直线，平移直线可知，当直线经过点A（0,4）时，取得最小值－4，
考点：简单线性规划的应用
17（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）由已正弦定理得： ；（2）由余弦定理得
整理得，再由面积的最大值为．
试题解析：（1）由已知及正弦定理得：，
∵，
∴，即，
∵为三角形的内角，∴．
（2）,
由已知及余弦定理得，即，代入，
整理得，当且仅当时，等号成立，
则面积的最大值为．
18．（Ⅰ）略； （Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）过作交于，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则平面的法向量为，再算出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）过作交于，连接因为， ，所以
又，所以故，
所以四边形为平行四边形，故，
而平面， 平面，
所以平面；
（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面
直角坐标系，则， ， ，
平面的法向量为，设平面的法向量为
，则，即
，不妨设，则
所求二面角的大小为
19．（1）数列是首项为1，公差为3的等差数列（2）（3）
【解析】试题分析: (1)把两边同时做倒数运算,得,即证.(2)由(1) (3)由(2)得,代入,利用错位相减法,可求和.
试题解析：（1）， ，
又 数列是首项为1，公差为3的等差数列。
（2）
（3）
…
…
…
20．（1）20；（2）
【解析】
试题分析：（1）观察频率分布直方图，然后根据频率为相应小矩形的面积，即可求出所求;（2）观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的个数，然后根据古典概型的概率公式解之．
试题解析：（1）由频率分布直方图知：月收入在的概率为：0.0004*500=0.2
所以，月收入在的人数为：100* 0.2=20.
（2）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为2×0.0005×500=0.5
可以用数字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，数字5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；
观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月在[2000，3000）的有191，271，932，812，393，027，730，共有7个,
而基本事件一共有20个，根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的概率为为
考点：频率分布直方图，古典概型的概
21．（1）当时，有极小值.（2）
【解析】试题分析：(1) 求出， 得增区间， 得减区间，再分类讨论得到的零点个数；（2）设，求的最最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可.
试题解析：（Ⅰ） ， ， ，
当时， 恒成立， 无极值；
当时， ，即，
由，得；由，得，
所以当时，有极小值.
（Ⅱ），即，即，
令，则，
当时，由知，∴，原不等式成立，
当时， ，即， ，得； ，得，
所以在上单调递减，
又∵，∴不合题意，
综上， 的取值范围为．
22．（1）{ 或}（2）
【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．
试题解析：
解：（1）
或或
或或
或或
故所求不等式的解集为{ 或}
（2）关于的不等式有解
只需即可，
又，
，即或，
故所求实数的取值范围是.
点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.
23．(Ⅰ) , ; (Ⅱ) .
【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用 将圆C的参数方程化为普通方程，由 ，将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)写出点P的坐标 ，由点到直线的距离求出P点到直线的距离，求出最大值，从而得到 面积的最大值.
试题解析：(Ⅰ)由得消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为．
由，得，
即，化成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为
(Ⅱ) 化为直角坐标为在直线l上，并且，…7分
设P点的坐标为，
则P点到直线l的距离为 ，
，
所以面积的最大值是
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