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黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设z= ,f(x)=x2-x+1,则f(z)= ( )
A.i B.-i C.-1+i D.-1-i
2.已知集合M={y|y=,x≥3},N={x|x2+2x-3≤0},则M∩N= ( )
A.[-3,1] B.[-2,1] C.[-3,-2] D.[-2,3]
3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S13=52,则a4+a8+a9= ( )
A.8 B.12 C.16 D.20
4.设双曲线(a＞0,b＞0)的渐近线与圆x2+(y-2)2= 3相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
5.从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.函数y= 的大致图象是 ()
7.已知函数f(x)＝asin(x＋α)＋bcos(x＋β)，且f(8)＝m,设从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为t，s，共可得到lg t－lg s的不同值的个数是m,则f(2 018)的值为( )
A.－15 B.-16 C.-17 D.－18
8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
9.若a＞b＞1,-1＜c＜0, 则( )
A.abc＜bac B.ac＞bc C.＜ D.b＞a
10.执行右面的程序框图，如果输入的x∈[-1，4]，则输出的y属于 ( )
A.[-2,5]
B.[-2,3)
C.[-3,5)
D.[-3,5]
11.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,其准线与双曲线-x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p= ( )
A.2 B. C.3 D.6
12.若函数f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减，则m的取值范围是( )
A.[-,] B.[- ,] C.[-, ] D.[-,]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
（本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23 题为选考题，考生根据要求作答）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中的横线上）
13.设向量=(-1,2),=(1,m)(m＞0),且(+)·(-)=||2-||2,则抛物线y2=-2mx的焦点坐标是_____.
14.设(1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,若a1+2a2+3a3+…+2018a2018=2018a(a≠0),则实数a=_________.
15.设等比数列{an}满足an＞0,且a1+a3= ,a2+a4= ,则的最小值为________.
16.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题。根据该问题我们拓展改编一题：今有边长为12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为2尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接。如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD,芦苇根部O为池底AB的中点,顶端为P(注:芦苇与水面垂直),在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的三等分点E（靠近D点）时，设芦苇的顶端为Q,则点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离为____尺.（注： ≈2.236, ≈1.732,精确到0.01尺）
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本题满分10分) 已知集合A＝{ x |≤1}，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本题满分12分)如图，在锐角△ABC中，D为BC边的中点，且AC=,AD=,0为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC= - .
(1)求sin∠BAC的值;
(2)求△ABC的面积.
19.(本题满分12分)设同时满足条件：①bn＋bn＋2≥2bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}叫“欧拉”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足(a－1)Sn＝a (an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列为“欧拉”数列．
20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．
(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值.
21.(本题满分12分)如图,椭圆C1:(a＞b＞0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于b.C2与y轴的交点为M，过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A，B,直线MA，MB分别与C1相交于D、E.
(1)求证:·为定值;
(2)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ＞0),求λ的取值范围.
22.(本题满分12分)已知f(x)= (a≠0,且a为常数).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a=,在区间(1,+∞)内，存在x1,x2,且x1≠x2时，使不等式|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立，求k的取值范围.
黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题（理科）参考答案
一、选择题
ACBBB CDBDD AB
9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1＜c＜0得0＜|c|＜1,又a＞b＞1,
∴＜＜0, -＞-＞0, a＞b＞1＞0,∴-a＞-b,
即b＞a.故选D.
11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=- ,代入双曲线方程-x2=1解得 y=±,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形,∴∠FMN=,
∴tan∠FMN= =1,∴p2=3+,即p=2,故选A.
12.B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - x- cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - + sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,
t∈[-,].则sin2x=t2-1,即t2+mt-1≤0对t∈[-,]恒成立,构造函数g(t)= t2+mt-1,则g(t)的图象开口向上，从而函数g(t)在区间[-,]上的最大值只能为端点值,故只需
∴-≤m≤,故选B.
二、填空题
13.32 14.2 15.-10 16. 1.53
14.2 【解析】本题考查二项式定理的应用及导数的计算.将(1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018两边同时对x求导得2018(1-ax)2017(-a)=a1+2a2x+3a3x2+…+2018a2018x2017,令x=1得-2018a(1-a)2017=a1+2a2+3a3+…+2018a2018=2018a,又a≠0,所以(1-a)2017=-1,1-a=-1,故a=2.答案:2.
15.-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式.由于{an}是正项等比数列，设an=a1qn-1，其中a1是首项，q是公比．
则,解得 .故an=2n-5,∴=
=(-4)+(-3)+…+(n-5)= n(n-9)= [(n-)2- ],∴当n=4或5时,
取最小值-10.
16.1.53 解析:设水深为x尺，则x2+62 =（x+2)2，解得，x=8 .
∴水深为8 尺，芦苇长为10 尺，
以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系,在牵引过程中，
P的轨迹是以O为圆心，半径为10 的圆弧，其方程为
x2 +y2=100（－6≤x≤6，8≤y≤10），①
E点的坐标为(- 4,8)，∴OE所在的直线方程为 y=- 2x，②
设Q点坐标为(x,y),由①②联立解得 x=-2,DG=6-2≈1.53
故点Q在水面上的投影离水岸边点D的的距离为1.53.
三、解答题
17. 解析：由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x| x≤－2或x≥3} .………3分
由log3(x＋a)≥1，得x+a≥3故B＝{x|x≥3－a}．………………5分
由题意，可知BA，所以3－a≤－2或3－a≥3，…………………8分
解得a≥5或a≤0.………………………………………………………10分
18.解:(1)由题设知∠BOC=2∠BAC,…………………………………1分
∴cos∠BOC=cos2∠BAC=1-2sin2∠BAC= - …………………3分
∴sin2∠BAC= ,sin∠BAC= .………………5分
(2)延长AD至E,使AE=2AD,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形,∴CE=AB.…………6分
在△ACE中,AE=2AD=,AC=,∠ACE=π-∠BAC,cos∠ACE=-cos∠BAC=- .……7分
∴由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2AC·CE·cos∠ACE,
即()2=()2+CE2-2×·CE×(-),
解得CE=2,∴AB=CE=2, ………………………………………………9分
∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=×2××=.…………12分
19.解：(1)由(a－1)Sn＝a (an－1)得,S1＝(a1－1)＝a1，
所以a1＝a.………………………………………2分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，整理得＝a，………………4分
即数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．
所以an＝a· an－1＝an.…………………………………………………………6分
(2)由(1)知，bn＝＋1＝，①
由数列{bn}是等比数列，则b＝b1·b3，故2＝2·，解得a＝，………9分
再将a＝代入①式得bn＝2n，故数列{bn}为等比数列，且a＝.
由于+=+＞2=2× = 2·，满足条件①；由于＝≤，故存在M≥满足条件②.故数列为“欧拉”数列．…………………………………12分
20. 解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………(3分)
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………………(7分)
(3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)== ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = , P(X=3)= = .…………………(9分)
X
0
1
2
3
P
∴X的分布列为
故E(X)= 0×+1×+2×+3×= .……………………………(12分)
21. 解:(1)由题设得b=2,(b＞0),∴b=2,又e= =,∴c2=a2=a2-4,解得a2=9.
因此椭圆C1和方程为+ =1.由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(2分)
设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由消去y得x2+kx-1=0,∴,①………………………(3分)
∴ ·=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,
∴将①代入上式得·=-1-k2+k2+1=0(定值).……………………(5分)
(2)由(1)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1
x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),………(7分)
∴S1=|MA|·|MB|= ·|k1||k2|.………………………………(8分)
由解得或,∴D(,),
同理可得E(,),………………………………………………………(9分)
∴S2=|MD|·|ME|= ··,………………………(10分)
∴λ2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)
= (97+ 36k12+ )≥,又λ＞0,∴λ≥
故λ的取值范围是[,+∞)………………………………………………………(12分)
22.解:(1)∵f(x)= (a≠0,且a为常数),∴f′(x)= = - .………………(1分)
∴①若a＞0时,当 0＜x＜1, f′(x)＞0;当x＞1时, f′(x)＜0.
即a＞0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).………………(3分)
②若a＜0时,当 0＜x＜1, f′(x)＜0;当x＞1时, f′(x)＞0.
即a＜0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).………………(5分)
(2)由(1)知, f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递减,不妨设x2＞x1＞1,则f(x1)＞f(x2),
∴不等式|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|可化为f(x1)-f(x2)≥k(lnx2-lnx1).………………………(8分)
即f(x1)+kx1≥f(x2)+kx2,令F(x)=f(x)+klnx,则F(x)在区间(1,+∞)上存在单调递减区间，
∴F′(x)= f′(x)+ =+= ＜0有解，即kx＜lnx(x＞1),
∴k＜有解,令G(x)= ,则G′(x)= ，由G′(x)=0得x=e,………………………(10分)
当x∈(1,e)时，G′(x)＞0,G(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时, G′(x)＜0,G(x)单调递减.
∴G(x)max=G(e)= ,故k＜.……………………………………………………………………(12分)
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