河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么
·如果事件，相互独立，那么
·柱体的体积公式
·锥体的体积公式
其中表示柱（锥）体的底面面积
表示柱（锥）体的高
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合,则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若变量满足约束条件,则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
高三（数学理科）试卷 第 14 页 （共7页）（一）
开始
S=1，k=1
k>4
S=S+
k=k+1
输出S
结束
是
否
（第3题图）
（3）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）设,，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）以下关于的命题，正确的是
（A）函数在区间上单调递增
（B）直线是函数图象的一条对称轴
（C）点是函数图象的的一个对称中心
（D）将函数图象向左平移个单位，可得到的图象
（7）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
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（8）如图梯形，且
,，在线段
上，，则的
最小值为
（第8题图)
（A）
（B）
（C）
（D）
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数 学 试 卷（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）是虚数单位，若复数满足,则= .
（10）在二项式的展开式中常数项为 .
（11）如图，在长方体中，
（第11题图)
，，则四棱锥
的体积为 .
（12）已知圆的极坐标方程为, 圆心为,点的极坐标为, 则的长度为 .
（13）已知，且，则的最小值为 .
（14）已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实根之和为 .
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三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在中，对应的边为.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求和的值.
（16）（本小题满分13分）
我市空气质量表
是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 虽然只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.
（Ⅰ）求这天数据的平均值；
（Ⅱ）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）以这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.
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（17）（本小题满分13分）
如图,已知四边形是直角梯形,∥,,,
,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).
（Ⅰ）若.
(ⅰ)求证:∥平面；
(ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在实数满足,使得平面与平面所成的锐角为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.
（18）（本小题满分13分）
已知数列的前项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列的前项和.
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（19）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.
（Ⅰ）若点的坐标为，且，
求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求椭圆离心率的值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．
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数学试题（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
（1）C
（2）C
（3）A
（4）A
（5）D
（6）D
（7）A
（8）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、诱导公式、和角的正余弦公式以及正余弦定理等基础知识. 考查运算求解能力.满分13分
（Ⅰ）解：由条件，得，
又由，得.
由，得，故. ………………………6分
（Ⅱ）解：在中，由余弦定理及，，,
有，故.
由得，因为，故.
因此,.
所以 .…………………13分
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（16）本小题主要考查茎叶图、平均数的概念、超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望以及二项分布等基础知识. 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：随机抽取天的数据的平均数为：
………………………6分
（Ⅱ）依据条件，的可能值为，
当时，，
当时， ,
当时， ，
当时， ,
所以其分布列为：
1
数学期望为： ………………………10分
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（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，
一年中空气质量达到一级的天数为，则，
∴（天）
所以一年中平均有天的空气质量达到一级. ………………………13分
（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形.
又，
∥又平面,平面，
∥平面. ………………………3分
x
y
z
(ⅱ)解：如图,在平面四边形中 ∥，，
以为原点建立空间直角坐标系
则
，
设为平面的法向量
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则，得，不妨设
又
即直线与平面所成的角的大小为. ………………………9分
x
y
z
（Ⅱ）设
,
设为平面的法向量,
则 得，，不妨设,
又平面的法向量为,
.
，，.……………………13分
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式、由前项和公式求通项公式的及用错位相减法求数列前项和.考查运算求解能力.满分13分.
（Ⅰ）解：根据题意知当时，，
当时，，所以.
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设数列的公差为，
，即，可解得，所以. ………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
又，
得
，
两式作差，得
所以 . ……………………13分
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题意知 ，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆方程为 . ……………………5分
（Ⅱ）解：易知，因为点在直线上，
所以直线的方程为.设，
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联立，得，
所以点，又轴，所以椭圆对称性，可得点
，所以,
又因为，所以，
即，化简得. ……………14分
（20）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、不等式的性质等基础知识和方法.考查分类讨论思想和化归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：，则.
令，得，所以在上单调递增.
令，得，所以在上单调递减. ………5分
（Ⅱ）解：因为，所以，所以的方程为.
依题意，.于是与抛物线切于点，
由得，所以 …………8分
（Ⅲ）解：设，则恒成立.
易得.
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增．
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①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且，
此时，
所以不恒成立．不满足条件；
（2）当时，
令，得.由，得；
由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，
必须有“当时，”成立．
所以，则．
令，则.
令，得．由，得；
由，得．所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，．
从而，当时，的最大值为．
综上，的最大值为． ……………14分
高三（数学理科）试卷 第 14 页 （共7页）（一）
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