河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数 学 试 卷（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么
·如果事件，相互独立，那么
·柱体的体积公式
·锥体的体积公式
其中表示柱（锥）体的底面面积
表示柱（锥）体的高
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合,则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若变量满足约束条件,则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
开始
S=1，k=1
k>4
S=S+
k=k+1
输出S
结束
是
否
（第3题图）
（3）某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）设,，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）以下关于的命题，正确的是
（A）函数在区间上单调递增
（B）直线是函数图象的一条对称轴
（C）点是函数图象的的一个对称中心
（D）将函数图象向左平移个单位，可得到的图象
（7）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
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（8）如图梯形，且
,， ，
则的值为
（第8题图)
（A）
（B）
（C）
（D）
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数 学 试 卷（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9） 是虚数单位，若复数满足,则= .
（10）已知函数，为的导函数，则的值为__________．
（11）如图，在长方体中，
（第11题图)
，，
则四棱锥的体积为 .
（12）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则的方程为________________.
（13）已知，且，则的最小值为 .
（14）已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实根之和为 .
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三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为件, 件, 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查,其中从乙车间的产品中抽取了件.
（Ⅰ）应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本容量为多少？
（Ⅱ）设抽出的件产品分别用，，…，表示，现从中随机抽取2件产品．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的件产品来自不同车间”，求事件M发生的概率．
（16）（本小题满分13分）
在中，对应的边为，已知.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，求和的值.
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（17）（本小题满分13分）
如图，已知三棱锥中，平面平面,,，,,,为线段的中点.
（Ⅰ）求证: 平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知数列的前项和，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列的前项和.
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（19）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.
（Ⅰ）若点的坐标为，且，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求椭圆离心率的值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数，（,为常数）
（Ⅰ）若，．
（i）求函数在区间上的最大值及最小值．
（ii）若过点可作函数的三条不同的切线，求实数的取值范围．
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
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数学试题（文史类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
（1）C
（2）C
（3）A
（4）D
（5）D
（6）D
（7）A
（8）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）本小题主要考查分层抽样、随机事件所包含的基本事件、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率和统计知识解决简单实际问题的能力.
（Ⅰ）解：由已知甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是，由于采用分层抽样的方法乙车间的产品中抽取了件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和1件，样本容量为7. ……………4分
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7件产品中随机抽取两间产品的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,共21种. ……………9分
（ii）解：不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是，，，，
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
来自乙车间的是，，来自丙车间的是，则从7件产品中抽取的件产品来自不同车间的所有可能结果为
,,,,,,,
,,,,,,,共14种.
所以，事件发生的概率为. ……………13分
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、诱导公式、和角的正余弦公式以及正余弦定理等基础知识. 考查运算求解能力.满分13分
（Ⅰ）解：由条件，得，
又由，得.
由，得，故. ………………………6分
（Ⅱ）解：在中，由余弦定理及，，,
有，故.
由得，因为，故.
因此,.
所以 . …………………13分
（17）本小题主要考查平面与平面垂直、异面直线所成的角、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
（Ⅰ）平面平面于,,平面
平面
又,
平面 ……………………5分
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（Ⅱ）取中点,连接
是中点
∥
为异面直线与所成的
角(或其补角)，
由（Ⅰ）知平面
平面
在△中,,
即异面直线与所成角的余弦值为. ……………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）为所求, 在△中,
,………………13分
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式、由前项和公式求通项公式的及用错位相减法求数列前项和.考查运算求解能力.满分13分.
（Ⅰ）解：根据题意知当时，，
当时，，所以.
设数列的公差为，
，即，可解得，所以. ………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
又，
得
，
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
两式作差，得
所以 . ……………………13分
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题意知 ，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆方程为 . ……………………5分
（Ⅱ）解：易知，因为点在直线上，
所以直线的方程为.设，
联立，得，
所以点，又轴，所以椭圆对称性，可得点
，所以,
又因为，所以，
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
即，化简得. ……………14分
（20）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、不等式的性质等基础知识和方法.考查分类讨论思想和化归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）因为，，所以，从而．
（i）令，解得或，列表：
+
0
﹣
0
+
↗
↘
↗
所以，，． …………4分
（ii）设曲线切线的切点坐标为，则，
故切线方程为，
因为切线过点，所以，
即， …………8分
令，则，
所以，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，，
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
要使过点可以作函数的三条切线，则需，解得．
（Ⅱ）当时，不等式,
等价于，
令，则，
所以，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
故，．
若，则，此时；
若，则，从而；
综上可得． ……………14分
高三（数学文科）试卷 第 13 页 （共7页）（一）
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