高三数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式 ，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若为虚数单位，设复数，则
A. B. C. D.
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. B. C. D.
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（3）已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
（4）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（5）若，，且，则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
（6）若如图所示的程序框图输出的是，则条件为
A. ≤ B. ≤ C. ≤ D. ≤
（7）双曲线的左、右焦点分别 为、，点在上，且， ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
（8）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（9）已知集合，则集合中的元素的个数为 .（用数字填写）
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（10）在的展开式中的常数项是.
（11）设直线（为参数），曲线（为参数），直线与曲线交于、两点，则.（用数字填写）
（12）若函数在是减函数，则的最大值是__________.
（13）平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为.
（14）已知两点,为坐标原点，点在第二象限，且,设，，则实数 .（用数字填写）
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分分）
在中，内角所对的边分别是.已知,
，.
（Ⅰ）求：的值；
（Ⅱ）求：的值.
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（16）（本小题满分分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)求甲获胜的概率；
(Ⅱ)求投篮结束时甲的投球次数的分布列和期望.
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（17）（本小题满分分）
在四棱锥中，底面,,,
,,点为棱中点.
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为棱上一点，满足,求二面角的余弦值.
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（18）（本小题满分分）
设等差数列的公差为，为整数，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，，n∈N*.
(Ⅰ)求数列与的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和为.
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（19）（本小题满分分）
设椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同两点，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
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（20）（本小题满分分）
已知函数（为常数）是实数集R上的奇函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数．
高三数学（理）参考答案
一、选择题 每题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
D
D
B
B
D
二、填空题 每题5分
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题
15.（本小题满分分）
（Ⅰ）由，得， ..................................2分
即，且，
所以；................................................................................3分
因为..................................................5分
且
解得...............................................................................7分
（Ⅱ）因为，所以， .................................8分
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则， .........................................9分
， ................................................10分
因为..................11分
...............................................13分
16. （本小题满分分）
（Ⅰ）设“甲获胜”甲获胜为事件，
......................................3分
...........................................................................5分
（Ⅱ）的取值情况可能为1,2,3，
..........................................................8分
的分布列为
ξ
1
2
3
P
.........................................................11分
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所以 ................................................13分
17. （本小题满分分）
（Ⅰ）取中点，连接，，
由于，分别为，的中点，
故,且，
又因为，，
所以且，
故四边形为平行四边形，.........................................2分
所以，且平面，平面，
所以 //平面 ...........................................4分
（Ⅱ）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，。
由为棱的中点，得。
向量，。设为平面的法向量，
则即
可得为平面的一个法向量， .........................................6分
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且
于是有，......................................................8分
所以，直线与平面所成角的正弦值为. ..........................9分
（Ⅲ）向量，，，。
由点在棱上，设，。（若，则）
故。
由，得，
因此，解得， ...................................11分
（若，则）
即。设为平面的法向量，
则，即，
可得为平面的一个法向量。 ................................12分
取平面的法向量，
则， ................................13分
二面角是锐角，所以其余弦值为。
18.（本小题满分分）
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（Ⅰ）由题意有，.................................................2分
解得或（舍），..................................................4分
所以， ..................................................6分
（Ⅱ）由题意知,
则
① ..................................................8分
② .................................................9分
所以 ①-②得： .......................11分
即，n∈N*． .......................................................................12分
整理得：。 ......................................................................13分
19.（本小题满分分）
（Ⅰ）由 可得 ， ..............................................................1分
点的直线, ........................................2分
，解得，..............................3分
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，..................................5分
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则，
则椭圆； ......................................................................................6分
（Ⅱ）由题意知的斜率存在故设
设、,
代入椭圆的方程中,
整理得,..................................................................7分
解，得.....................................................................................................8分
由韦达定理有:,①....................................................9分
直线与椭圆相切于点的坐标......................10分
，
.........................................................11分
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解得，经经验成立，..................................................................................13分
则直线的方程.............................................................................14分
20.（本小题满分分）
（Ⅰ） 因为函数（为常数）是实数集R上的奇函数，
所以即，.......................................................................2分
则解得，. ...........................................................................4分
显然时，是实数集R上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得...........................................................................................5分
方程转化为，
令（）， （）,
因为，令，得，..................................................6分
当时，，∴在上为增函数；....................7分
当时，，在上为减;..........................8分
当时，；..........................................................................9分
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而
∴在上为减函数，
在上为增函数；..................................10分
当时，；....................................................11分
∴当，即时，方程无解；.....................................12分
当，即时，方程有一个根；.............................13分
当，即时，方程有两个根；.............................14分
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