高三数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式 ，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若为虚数单位，则
A. B. C. D.
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. B. C. D.
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（3）若≤，则为
A. B. ≥
C. ≥ D.
（4）已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
（5）若，，且，则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
（6）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（7）双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，若为直角三角形，则
A. B. C. D.
（8）已知函数 ，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（9）已知集合，则集合中的元素的个数为 .（用数字填写）
（10）已知函数，则的最大值为.
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（11）圆的圆心到直线的距离为，则的值为.
（12）运行如图所示的程序，输出结果为_________.
（13）平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为.
（14）已知函数，，若存在两个零点，则实数的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分分）
在中，内角所对的边分别是.已知,
，.
（Ⅰ）求：的值；
（Ⅱ）求：的值.
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（16） （本小题满分分）
根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团
街舞
围棋
武术
人数
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少人.
（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；
（Ⅱ）若从“围棋”社团抽取的同学中选出人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有名女生，求至少有名女同学被选为监督职务的概率.
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（16） （本小题满分分）
如图，四面体中,、分别是、的中点，，.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值;
（Ⅲ）求点到平面的距离.
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（18） （本小题满分分）
设等差数列的公差为，为整数，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，，n∈N*.
(Ⅰ)求数列与的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和为.
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（19）（本小题满分分）
设分别是椭圆的左、右焦点，,直线过且垂直于轴，交椭圆于两点，连接，所组成的三角形为等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，试问：椭圆上是否存在点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
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（20）（本小题满分分）
已知函数，.
（Ⅰ）若，求函数的单调减区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的范围.
高三数学（文）参考答案
一、选择题 每题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
D
D
D
B
A
二、填空题 每题5分
9. 10. 11. 12. 126 13. 14.
三、解答题
15.（本小题满分分）
（Ⅰ）由，得，....................................2分
即，且，
所以；..............................................................................3分
因为.................................................5分
且
解得..............................................................................7分
（Ⅱ）因为，所以，..................................8分
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则， ......................................9分
， ........................................10分
又因为...........11分
.........................................13分
16.（本小题满分分）
（Ⅰ）根据“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团人数比为；
因为“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少人；
所以 三个社团分别抽取了...............................................3分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为;4位男生记为;
从中选出2人担任该社团活动监督的职务有15种不同的结果，
....................................................................9分
至少有1名女同学被选为监督职务有9种不同的结果，
所以至少有1名女同学被选为监督职务的概率. ......................13分
17. （本小题满分分）
（Ⅰ）证明:因为,,所以
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在中,由题设知,,
所以,......................................................2分
因为，
所以平面;.............................................................................4分
（Ⅱ）解:取的中点,连接、、,由为的中点,
知,
所以直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角.
....................................................................6分
在中,,
是直角斜边上的中线,,
；............................................................................8分
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所以异面直线与所成角大小的余弦为;
（Ⅲ）解:设点到平面的距离为.
,..............................................................................................10分
在中,;
,
,,
则,.............................................................................................................13分
所以点到平面的距离为。
17. （本小题满分分）
（Ⅰ）由题意有，.............................................................................2分
解得或（舍），..............................................................................4分
所以，.....................................................................................6分
（Ⅱ）由题意知,
则
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① ......................................................................8分
② ..........................................................9分
所以 ①-②得： ...........................11分
即，n∈N*． ...........................................................................12分
整理得：。 ..........................................................................13分
19.（本小题满分分）
（Ⅰ）
由可得 ， .........................................................................1分
等边三角形中：，，.......................3分
则，得，.........................................................4分
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又因为，所以，.......................................................5分
则椭圆； .....................................................6分
（Ⅱ）设、,
则由题意知的斜率为一定不为,故不妨设,
代入椭圆的方程中,
整理得,................................................8分
显然.
由韦达定理有:,①..............................9分
且②................................................10分
假设存在点,使成立,则其充要条件为:
点,................................................................................11分
点在椭圆上,即.
整理得..........................12分
又在椭圆上,即,，
故由①②代入：，解得,......................13分
则。...................................................................................14分
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20.（本小题满分分）
（Ⅰ）因为， ................................2分
由且得：， ..........................................4分
所以函数的单调减区间为； ......................................5分
（Ⅱ）依题意时， .......................................................................6分
不等式恒成立，
等价于在上恒成立， ..............................8分
令，
则， ........................................10分
当时，，单调递增； ............................................11分
当，，单调递减； ...........................................12分
所以当时，取得最大值， .........................................13分
故。 .................................................................................................14分
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