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哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试
高二理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.下列选项叙述错误的是（ ）
A． 若为真命题，则、均为真命题
B．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
C．若命题，，则，
D．“”是“”的充分不必要条件
2.已知口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，若摸出红球的概率是0.42，若摸出白球的概率是0. 28，则摸出黑球的概率是（ ）
A． 0.42 B． 0.28 C．0.3 D． 0.7
3. 已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 （ ）
A．若，，，，则 B．若，∥，，则
C．若∥，，则∥ D．若，，，则∥
4.有四个面积相等的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖,若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的自然数的最小值等于（ ）
A． 7 B．8 C．9 D．10
6．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）
A．23 B．20 C．06 D． 17
7 .已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）
A．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C． ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
9.如图，是直三棱柱，为直角，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
11．三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且,
平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． 4 B． C． 3 D．
12.双曲线的左、右焦点为，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为是的重心，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D． 3
二、填空题
13．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为_______________.
14. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为________________.
15.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.
16. 已知中，，，，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是14，则点到平面的距离是_____________.
三、解答题
17.某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出（百万元）与公司所获得利润（百万元）的散点图发现，与之间具有线性相关关系，具体数据如下表所示：
（1）求关于的回归直线方程；
（2）若该公司的科研投入从年开始连续年每一年都比上一年增加万元，预测年该公司可获得的利润约为多少万元？
（注：线性回归直线方程系数公式，.）
18.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以 ,,,,,,分组的频率分布直方图如下图:
(1)求直方图中的的值；
(2)估计月平均用电量的众数和中位数；
(3)从月平均用电量在,,,内的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,求从月平均用电量在内的用户中应抽取多少户?
19. 如图，三棱锥中， 两两垂直，， ，分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20． 在直角坐标系中，圆的参数方程为（参数)，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，与直线的交点为，
求的范围.
21.如图所示三棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，.
（Ⅰ）若,求证：平面；
（Ⅱ）若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、成等差数列，点，求的最大值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13. 6 14. 15. 16. 7
17. (1)经计算可得,,,,,
故所求的回归直线的方程为
(2)由题可知道2017年时科研投入为2.3百万元,
故可预测该公司所获得的利润约为(百万元)
答: 可预测该公司所获得的利润约为450万元.
18．(1)）由直方图的性质可得
,得
(2) 众数的估计值是,设中位数为由得
(3)月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),抽取比例为,所以从月平均用电量在内的用户中应抽取(户).
19. (1)分别是的中点, 又平面,平面
,所以平面,平面,,即平面平面.
(2) 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
,,,,,
则面的法向量，设与面所成角为,
则
与面所成角的正弦值为.
20．（1）圆的普通方程是，又，
所以圆的极坐标方程是.
（2）设，则有 ，
设，且直线的方程是，则有
所以
因为，所以.
21.（1）略
（2）设 为与 所成的角
以C为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
面的法向量，面的法向量
二面角的余弦值为
22. (1)设椭圆方程为，由题意知
，…①，…②
联立①②解得，，所以椭圆方程为
(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为
满足，
消去得．
，
且，．
因为直线的斜率依次成等差数列，
所以，，即，
又，所以，
即．
联立 易得弦AB的长为
又点M到的距离
所以
平方再化简得时S取最大值
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