数学文科（一）参考答案 (2).pdf

南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 1 页（共 6 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一) 数学试卷（文史类）参考答案 2019.03 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 A B C B C D C B 二、填空题： （9）0； （10）0； （11） 1 6 ； （12）2 3 ； （13） 7 62  ； （14）(11 3 ，6) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）这 5 天的平均发芽率为 23 25 30 26 16 100 100 100 100 100 5  ×100%=24%． ………………5 分 （Ⅱ）m，n 的取值情况有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)， (25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)， 基本事件总数为 10． ………………9 分 则事件 A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)．……10 分 所以 P(A)= 3 10 ． ………………13 分 （16）解：（Ⅰ）∵B=2C，sinC= 7 4 ， ∴cosB=cos2C=1–2sin2C= 1 8 ． ………………2 分 ∵B=2C，∴C 为锐角，∴cosC＞0， ∴cosC= 21 sin C = 3 4 ． ………………4 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 2 页（共 6 页） 而 sinB= 21 cos B = 37 8 ， ………………6 分 ∴cosA=–cos(B+C)=–(cosBcosC–sinBsinC)= 9 16 ． ………………9 分 （Ⅱ）∵ sin b B = sin c C 而 sinC= 7 4 ，sinB= ， ………………10 分 ∴b= 3 2 c，又 bc=24，∴b=6，c=4， ………………12 分 ∴a2=b2+c2–2bccosA=25，∴a=5． ………………13 分 （17）解：（Ⅰ）连结 BF． 在△ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 的中点， ∴DE∥AB， ∴∠FAB 或其补角为异面直线 AF 与 DE 所成角． ……………………2 分 由 AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E 是 BC 的中点，得 AE= 2 ． ∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥AE． 在 Rt△SAE 中，SE= 6 ，可得 AF= 23 3 ． ……………………4 分 ∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥BC，又 BC⊥AE， ∴BC⊥平面 SAE， ∴BC⊥SE， ∵EF= 1 3 SE= 6 3 ，BE= ， ∴BF= 26 3 ． ∴cos∠FAB= 3 3 ， P G E F C D B A S 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 3 页（共 6 页） 即异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值 3 3 ． ……………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AE2=EF2+AF2，∴AF⊥SE． ∵BC⊥平面 SAE，∴BC⊥AF． 又 SE∩BC=E，∴AF⊥平面 SBC． ……………………9 分 （Ⅲ）延长 AG 交 BC 于 P 点，连结 PF． 由（Ⅱ）知 AF⊥平面 SBC，∴PF 为 AP 在平面 SBC 上的投影， ∴∠APF 即为直线 AG 与平面 SBC 所成角． ……………………11 分 ∵G 为线段 DE 的中点， ∴CP=2PE， 又 SF=2FE， ∴PF= 1 3 SC= 22 3 ，AP= 25 3 ， ∴cos∠APF= 10 5 ， 即直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为 ． ……………………13 分 （18）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d． 由 a5=3a2 得 d=2a1， ………① 由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………② 由①②解得 a1=1，d=2． 所以数列{an}的通项公式为 an=2n–1． …………………4 分 （Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 得 an+bn=2n–1，即 2n–1+bn=2n–1， 所以 bn=2n–1–2n+1． …………………6 分 所以 bn(an+bn)=2n–1·(2n–1–2n+1)=4n–1–(2n–1)·2n–1． …………………7 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 4 页（共 6 页） ∴Pn=40+41+…+4n–1=14 14   n = 41 3 n ． …………………8 分 Qn=1·20+3·21+5·22+…+(2n–3)·2n–2+(2n–1)·2n–1 ……③ 2Qn=1·21+3·22+5·23+…+(2n–3)·2n–1+(2n–1)·2n ……④ ③–④得 –Qn=1·20+2·21+2·22+…+2·2n–1–(2n–1)·2n =(3–2n)·2n–3， ∴Qn=(2n–3)·2n+3． …………………12 分 ∴Tn=Pn–Qn= –(2n–3)·2n–3= 4 3 n –(2n–3)·2n–10 3 ．…………………13 分 （19）解：（Ⅰ）由题设： 6 3c a ，bc= 2 ，解得 a2=3，b2=1， ∴椭圆 C 的方程为 2 2 13 x y ． ………………………………3 分 （Ⅱ）设 A(x1，y1)、B(x2，y2)． （1）当 AB⊥x 轴时，|AB|= 3 ． ………………………………4 分 （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m， 由已知 2 3 21 m k   ，得 m2= 3 4 (k2+1)． ………………………………6 分 把 y=kx+m 代入椭圆方程消去 y，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2–3=0， 有 x1+x2= 2 6 31   km k ，x1x2= 2 2 13 31   ()m k ． ………………………………7 分 得|AB|2=(1+k2)(x1–x2)2=(1+k2) 2 2 2 2 2 2 36 12 1 3 1 3 1  () () k m m kk = 22 2 2 2 12 1 3 1 31     ( )( ) () k k m k = 22 22 3 1 9 1 31   ( )( ) () kk k ………………………9 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 5 页（共 6 页） = 2 42 123 9 6 1  k kk= 2 2 123 196  k k （k≠0） ≤ 123 2 3 6  =4， 当且仅当 2 2 19k k ，即 3 3k  时等号成立． ………………………………12 分 当 k=0 时，|AB|= 3 ． ………………………………13 分 综上所述|AB|max=2，从而△AOB 面积的最大值为 3 2 ． ……………………14 分 （20）解：（Ⅰ）f(x)= 2 ln x x ． ……………………1 分 故切线的斜率为 f(e)= 2 1 e ，又 f(e)= 2 e ， ……………………3 分 ∴切线方程为：y– = (x–e)，即 x+e2y–3e=0． ……………………4 分 （Ⅱ）当 0＜x＜1 时，f(x)＞0；当 x＞1 时，f(x)＜0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 故 f(x)在 x=1 处取得极大值． ………………………6 分 ∵f(x)在区间(m，m+ 1 3 )（m＞0）上存在极值， ∴0＜m＜1 且 m+ ＞1，解得 2 3 ＜m＜1． ………………………8 分 （Ⅲ）由题可知，a≠0，且 g(x)=1 x a lnx， ∵x∈(0，1)，∴lnx＜0，2x–2＞0． 当 a＜0 时，g(x)＞0，不合题意． ………………………9 分 当 a＞0 时，由 g(x)＜2x–2，可得 lnx+ 21 1   ()ax x ＜0 恒成立．……………10 分 设 h(x)=lnx+ ，则 h(x)max＜0， ………………………11 分 南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（文史类）第 6 页（共 6 页） 求导得：h(x)= 2 2 2 4 1 1   () () +x a x+ xx ． 设 t(x)=x2+(2–4a)x+1，△=16a(a–1)． ①当 0＜a≤1 时，△≤0，此时：t(x)≥0，h(x)≥0， ∴h(x)在(0，1)内单调递增，又 h(1)=0，所以 h(x)＜h(1)=0． 所以 0＜a≤1 符合条件． ②当 a＞1 时，△＞0，注意到 t(0)=1，t(1)=4(1–a)＜0， ∴存在 x0∈(0，1)，使得 t(x0)=0， 于是对任意 x∈(x0，1)，t(x)＜0，h(x)＜0．则 h(x)在(x0，1)内单调递减， 又 h(1)=0，所以当 x∈(x0，1)时，h(x)＞0，不合要求， 综合①②可得 0＜a≤1． ………………………14 分