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成都外国语学校2016级3月考试
数学（理科答案）
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．利用反证法证明：若，则，假设为（ ）
A．，都不为0 B．，不都为0
C．，都不为0，且 D．，至少有一个为0
【答案】B
3．设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
举反例否定D，而A,B,C可结合函数与不等式性质给予证明.
【详解】
因为在上是增函数，所以;
因为-c在上是减函数，所以;
因为,所以
当时,,所以D不成立，选D.
4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．2019 B．4038 C．1008 D．1009
【答案】D
5．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）
A．16 B．20 C．21 D．22
【答案】D
6．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则_______．
【答案】
由题意可得：，
整理可得：，即,
该方程存在唯一的实数根.
故答案为： 0.4
7．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为（A ）
A．3 B． C．2 D．
8.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）D
A．1 B． C． D．
【解析】如图所示，由椭圆定义，有，所以当线段长度达最小值时，有最大值，当垂直于轴时，，所以的最大值为，∴，即，选D.
9．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数，有且仅有一个零点等价于，有且仅有一个解，
设，
即直线与，的图象只有一个交点，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
则可得实数的值为，故选B．
10. 在平面直角坐标系中，,若，则的最小值是（ C）
A． B．
C． D．
11．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（ ）
A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图所示，
∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，
∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．
故选：A．
12. 已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（ A）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量， ， 若，则_______．
【答案】
14.已知函数，正项等比数列满足，则 .
【解析】∵，∴.
∵数列是等比数列，∴，即
，
设，①
又，②
① +②得：，∴.
15．如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是 （，1） ．
【考点】导数的运算．
【分析】根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x
在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则，
解得＜a＜1；．∴实数a的取值范围是（，1）故答案为：（，1）．
16. 在平面四边形中，已知，，，，则的值为 10
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．如图，的内角的对边分别为为线段上一点，的面积为.
求：（1）的长； （2）的值.
【答案】(1) (2)
解：（1）由，可知
从而
由
（2）
18．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
10
50
个体经营户
100
50
150
合计
140
60
200
（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为， 写出的分布列，并求的期望值．
附：
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
（1）分层抽样，简单随机抽样均可；（2）利用联列表求出，然后判断即可；（3）推出可取0，1，2，3，4．求解概率，然后求解分布列，得到期望即可．
【详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）.
(2）将列联表中的数据代入公式计算得
，
所以，有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．
（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记
顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．
可取0，1，2，3，4．
，
，
，
，
．
的分布列为：
0
1
2
3
4
.
19．如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】
（1）因为分别为，边的中点，
所以，因为，所以，，
又因为，所以平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，
由（1）知平面，平面，
所以平面平面，因为，所以，
又因为平面，平面平面，所以平面，
过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，．，，
设平面的法向量为，则即
则，易知为平面的一个法向量，
，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点设点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？ 并证明你的结论.
20. 解：（1）由已知得，由已知易得，解得，
则椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得,
设，则.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为，
将代入整理化简，得,
依题意,直线与椭圆必相交于两点,设，
则,又,
所以
，
综上得 为定值.
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
解：（1）∵，其定义域为，∴，
令，得，令，得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
的极大值为，无极小值.
（2）∵，，∴，令，
则，令，解得.
当在内变化时，，的变化情况如下表：
+
0
-
由表知，当时，函数有最大值，且最大值为，∴，
∴实数的取值范围为.
（3）由（2）知，，∴，
∴.
∵
，
∴，
即.
（二）选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于、两点,求弦长.
解：（1）曲线的直角坐标方程是：.
（2）直线的参数方程标准形式为,代入得，即,
设对应的参数分别为,则..
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对任意，恒有，求实数的取值范围.
24. 解：（1）当时，，
的解集为.
（2），
由恒成立,有，解得,
的取值范围是.
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