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北京市西城区高三统一测试
数学（文科） 2019.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，集合，，则集合
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若复数，则在复平面内对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3．下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为
（A）4
（B）5
（C）7
（D）9
5. 在△中，已知，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6. 设 均为正数，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为
（A），
（B），
（C），
（D），
8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设向量，满足，，，则____．
10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．
11．能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．
12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．
13．设函数 当时，____；如果对于任意的都有，那么实数b的取值范围是____．
14．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数
1~50
51~100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个
团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.
16．（本小题满分13分）
已知数列的前项和，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若（）为等比数列的前三项，求数列的通项公式.
17．（本小题满分13分）
为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；
（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，
现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
18．（本小题满分14分）
如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．
19．（本小题满分13分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值；
（Ⅲ）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）
北京市西城区高三统一测试
数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．D 3．C 4．D
5．C 6．C 7．A 8．B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．
10．
11．答案不唯一，如，
12．
13．；
14．70；40
注：第13题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
……………… 4分
， ……………… 6分
所以函数的最小正周期. ……………… 8分
（Ⅱ）因为，所以 ． ……………… 9分
所以当，即时，取得最大值.
当，即时，取得最小值． ……………… 13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，， ……………… 2分
当时，由题意，得， ，
由-，得，其中. ……………… 5分
所以数列的通项公式 ……………… 7分
（Ⅱ）由题意，得. ……………… 9分
即.
解得（舍）或. ……………… 10分
所以公比. ……………… 11分
所以. ……………… 13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，
乙组10名学生阅读量的平均值为.
……………… 2分
由题意，得，即. ……………… 3分
故图中a的取值为或. ……………… 4分
（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M. … 5分
由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，.
则从所有的 “阅读达人” 里任取2人，所有可能结果有10种， 即，，，，，，，，，. …… 7分
而事件M的结果有7种，它们是，，，，，，， ……………… 8分
所以.
即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为. … 10分
（Ⅲ）. ……………… 13分
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由底面为矩形，知. ………………
1分
又因为，， ……………… 2分
所以平面. ……………… 3分
又因为平面，
所以. ……………… 4分
（Ⅱ）由底面为矩形，知，
又因为平面，平面，
所以平面. ……………… 6分
同理平面，
又因为，
所以平面平面. ……………… 8分
又因为平面，
所以平面. ……………… 9分
（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），使得平面平面. … 10分
证明如下：
取的中点，的中点，连接，则.
由，得.
所以四点共面. ……………… 11分
由（Ⅰ），知平面，
所以，故.
在△中，由，可得.
又因为，
所以平面. ……………… 13分
又因为平面
所以平面平面（即平面平面）.
即线段上存在点（即中点），使得平面平面. ……… 14分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由函数是偶函数，得，
即对于任意实数都成立，
所以. ……………… 2分
此时，则.
由，解得. ……………… 3分
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 5分
所以有极小值，有极大值. ……………… 6分
（Ⅱ）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ……………… 8分
对函数求导，得. ……………… 9分
由，解得，. ……………… 10分
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 11分
又因为，，，，
所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
即当或时，函数在区间上有两个零点. …… 13分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，得 , 解得. ……………… 1分
所以椭圆方程为. ……………… 2分
故，，.
所以椭圆的离心率. ……………… 4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
又因为，，
所以四边形的面积. ……………… 6分
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
联立方程 消去，得. …… 7分
由题意，可知恒成立，则，. ………… 8分
四边形的面积 ……… 9分
，
设，则四边形的面积，，
所以.
综上，四边形面积的最大值为. ……………… 11
分
（Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为. ……………… 14分
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