北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学（理）试题word含答案.doc

www.ks5u.com 北京市西城区高三统一测试 ‎ 数学（理科） 2019.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．设全集，集合，，则集合 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ‎ ‎ （A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎ （C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎ 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为 ‎ ‎ （A）4‎ ‎ （B）5‎ ‎ （C）7‎ ‎ （D）9‎ ‎4．下列直线中，与曲线C：没有公共点的是 ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ ‎5. 设 均为正数，则“”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎ （C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎6．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为 ‎（A），‎ ‎（B），‎ ‎（C），‎ ‎（D），‎ ‎7. 团体购买公园门票，票价如下表：‎ 购票人数 ‎1~50‎ ‎51~100‎ ‎100以上 门票价格 ‎13元/人 ‎11元/人 ‎9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ ‎ 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为 ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 在等比数列中，，，则数列的前n项和____．‎ ‎10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____． ‎ ‎11．函数的最小正周期____；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是____． ‎ ‎12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____． ‎ ‎13. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___． ‎ ‎14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在△中，已知，其中.‎ ‎（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）若，，，求． ‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得 ‎ 平面平面？若存在，求 ‎ 出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.‎ ‎ （Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；‎ ‎（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.‎ ‎ （Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 设函数，其中． ‎ ‎（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.‎ ‎（Ⅰ）当，且直线轴时， 求四边形的面积； ‎ ‎（Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.‎ 定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.‎ ‎（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；‎ ‎（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；‎ ‎（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.‎ 北京市西城区高三统一测试 ‎ 数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．B 2．D 3．D 4．C ‎ ‎5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．‎ ‎10． ‎ ‎11． ；‎ ‎12．‎ ‎13．答案不唯一，如，‎ ‎14．‎ 注：第11题第一问3分，第二问2分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，由题可知 ，‎ 由余弦定理， ……………… 3分 得． ……………… 4分 这与矛盾，‎ 所以不可能等于3 . ……………… 6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ），得 ，所以. ……………… 7分 ‎ 因为，，，‎ ‎ 所以，‎ 解得（舍）或. ……………… 9分 ‎ 在△中，由正弦定理， ……………… 11分 ‎ 得. ……………… 13分 ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，‎ ‎ 又因为平面，平面， ‎ ‎ 所以平面. ……………… 2分 ‎ 同理平面，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以平面平面. ……………… 3分 ‎ 又因为平面，‎ ‎ 所以平面. ……………… 4分 ‎ （Ⅱ）连接,‎ 因为平面平面，平面平面，，‎ 所以平面. 则.‎ 又因为，，，‎ ‎ 所以平面，则.‎ ‎ 故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 ‎ 则，，，，，，‎ ‎ 所以,，为平面的一个法向量.‎ ‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. ………………8分 ‎ 所以.‎ ‎ 如图可得二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. ………………10分 ‎（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面. ………………11分 证明如下：‎ 设，‎ ‎ 所以. ‎ 设平面的法向量为，又因为，‎ 所以，，即 ……………… 12分 若平面平面，则，即， ……………… 13‎ 分 解得.‎ 所以线段上存在点，使得平面平面，且此时. …… 14分 ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，‎ ‎ 乙组10名学生阅读量的平均值为.‎ ‎……………… 2分 ‎ 由题意，得，即. ……………… 3分 ‎ 故图中a的取值为或. ……………… 4分 ‎ （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人. ‎ ‎ 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分 ‎ 且，， . …… 8分 ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为： ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎……………… 9分 ‎ 所以. ………………10分 ‎ （Ⅲ）. ……………… 13分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由函数是偶函数，得，‎ 即对于任意实数都成立，‎ 所以. ……………… 2分 此时，则.‎ 由，解得. ……………… 3分 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 5分 所以有极小值，有极大值. ……………… 6分 ‎ ‎ （Ⅱ）由，得.‎ ‎ 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ……………… 8分 ‎ 对函数求导，得. ……………… 9‎ 分 ‎ 由，解得，. ……………… 10分 ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 11分 ‎ ‎ 又因为，，，，‎ ‎ 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. ‎ ‎ 即当或时，函数在区间上有两个零点. ……… 13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，得， 解得. ……………… 2分 所以椭圆方程为. ……………… 3分 当，及直线轴时，易得,. 且,.‎ 所以，，‎ 显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为. …… 5分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，‎ ‎ 代入椭圆的方程，得，，‎ ‎ 易得的方程为.‎ ‎ 则,,,‎ ‎ 所以，即三点共线. ……………… 7分 ‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，，，‎ ‎ 联立方程 消去y，得. ……… 9分 ‎ 由题意，得恒成立，故，. …………… 10分 ‎ 直线的方程为. ‎ ‎ 令，得. ……………… 11分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 则直线，的斜率分别为，， …………… 12分 ‎ 所以.‎ ‎ 上式中的分子 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以三点共线. ……………… 14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：‎ ‎ ……………… 3分 ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表.‎ ‎ 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：‎ ‎ （1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；‎ ‎ （2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 ‎ 完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：‎ 在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2‎ 行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），‎ ‎ 则 ‎ 由，得； ‎ 由，得； ‎ 由，得. ‎ 解方程组，，，，得.‎ ‎ 这与矛盾，‎ ‎ 所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 ‎ （Ⅲ）记第1列前l行中的数的和，第2列前l行中的数的和 ‎ ，……，第n列前l行中的数的和，‎ ‎ 因为对于任意的和，都有，‎ ‎ 所以. ……………… 9分 ‎ 又因为对于任意（），都有，‎ ‎ 所以. ……………… 11分 ‎ 又因为，‎ ‎ 所以，即. ……………… 13分