2020级高二下第一次月考
一． 选择题（共12题，每题5分,共60分）
1.函数的导函数是( )
A. B. C. D.
2.已知中, ,求证:
证明:
∵
∴
∴.
框内部分是演绎推理的( )
A.大前提 B.三段论 C.结论 D.小前提
3. 下列推理是归纳推理的是( )
A.由,求出猜想出数列的前项和的表达式
B. ,为定点,动点满足,则点的轨迹为椭圆
C.由圆的面积,猜想出椭圆的面积
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4.已知,则复数 ( )
A. B. C. D.
5.若是函数的一个极值点,则当时 的最小值为( )
A. B. C. D.
6.用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到时,不等式的左边增加了( )
A. B. C. D.
7.如果复数 (为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则的值等于( )
A. 1 B. 0 C.2 D.3
8.已知函数.若其导函数在上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.设函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
10.设是定义在上的恒大于的可导函数,且,则当时有( )
A. B.
C. D.
11.已知函数,若方程恰有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知对任意实数,关于的不等式在上恒成立,则的最大整数值为( )
A.-2 B.-3 C.0 D.-1
二．填空题（共4小题，每小题5分,共20分）
13.若复数 (为虚数单位),则__________.
14.函数的单调递减区间是__________.
15.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第条“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.
16.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为__________.
三.解答题(本大题共70分)
17.（本题10分）
已知,,为实数.
(1).若,求;
(2).若,求,的值.
18. （本题12分）
观察下列等式:
;
;
;
;
(1).照此规律,归纳猜想出第个等式
(2).用数学归纳法证明1问中的猜想
19.（本题12分）已知函数
(1).若,求曲线在点处的切线方程
(2).若函数在上单调递增,求实数的取值范围
20.（本题12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆,出厂价 为万元/辆,年销售量为辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投人成本增加的比例为,则出厂价相应提高的比例为,年销售量也相应增加.已知年利润= (每辆车的出厂价 每辆车的投人成本) 年销售量。
(1).若年销售量增加的比例为,写出本年度的年利润 (万元)关于的函数关系式.
(2).若年销售量关于的函数为则当为何值时,本年度年利润最大?最大年利润是多少?
21.（本题12分）已知函数
(1).设,试讨论在定义域内的单调性
(2).若函数的图像恒在函数图像的上方,求的取值范围
22.（本题12分）已知函数.
(1).讨论函数的单调性
(2).若，证明有且只有三个零点.
2020级高二下第一次月考答案
一． 选择题1--6 CDACDA 7--12 BACBBD
二． 填空题
13 4-2i 14.(0,1) 15.6n+2 16.-3
三． 大题
17题 解：1. ,
∴.
2.由题意得,
2i+a+ai+b=1-i
∴2+a=-1
a+b=1 ∴a=-3,b=4
18题 解：1.第个等式为
2.用数学归纳法证明:
①当时,等式显然成立;
②假设当时,等式成立,即
则当时,
,
所以当时,等式成立.
由①②知,
19题 解：1.依题意, ,,故,而,
故所求切线方程为,即
2.依题意, ,则;
由在区间上是增函数,则对于恒成立,所以;
因,故,记,则,
而函数在上为减函数,则,所以;
故实数的取值范围是
20题1.解:由题意得:本年度每辆车的投入成本为;出厂价为,年销售量为.因此本年度的年利润为: ,
2.本年度的利润为,
则,令,解得或 (舍去),
当时, ,是增函数;
当时, ,是减函数.
∴当时, 取极大值, .
所以当时,本年度的年利润最大,最大利润为万元.
21题 解：1. ,
①当时, 恒成立, 在上单调递增,
②当时, ,令,解得,
当时, ,函数单调递减,
当时, ,函数单调递增,
③当时, ,令,解得,
当时, ,函数单调递减,
当时, ,函数单调递增,
综上所述,当时, 在上单调递增,
当时, 在上单调递减,在上单调递增,
当时, 在上单调递减,在上单调递增
2.若函数的图像恒在函数的图像上方,即恒成立,即.
①当时, 恒成立,
②当时,由可得,
③当时,由可得
综上所述的取值范围为
22题 解： 1.的定义域为,
①时,∵,∴,∴在单调递减;
②时,令,即,
(i)时,,此时,在上单调递增;
(ii),,令,则,
∴时,,时,
,∴在和上单调递增,在单调递减.
综上,时,在上单调递减;时,在上单调递增;时,在上单调递减,在和上单调递增.
2.∵,∴
由(1)可知在和上单调递增,在单调递减,
又,且,∴在上有唯一零点.
又,
∴在上有唯一零点;
,在有唯一零点综上,
当时,有且只有三个零点.
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