玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考
文科数学试卷
一．选择题（共12小题,每小题5分,共60分）
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列能使成立的所在区间是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的，依次输入…，则输出的s＝（ ）
A．3 B．10 C．25 D．56
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩.老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩.看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）
A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩
8．已知直线与圆交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数a的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
9．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，其中为常数，且，若，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则＝（ ）
A． B．3 C． D．6
12．设函数（e为自然对数的底数），则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题,每小题5分,共20分）
13．若向量与向量共线，则 ．
14．不等式的解集为 ．
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为 ．
16．设等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为 ．
三．解答题（共6小题,共70分）
17．（本小题12分）已知函数．
（1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小.
（2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
18．（本小题12分）已知等差数列的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
19．（本小题12分）如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，，是的中点，是中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
20．已知函数（其中，为常数）在处取得极值．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若在，上的最大值为1，求的值．
21．(本小题12分)已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点．求证：直线的斜率为定值．
22．(本小题10分)将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线．
（1）写出的参数方程；
（2）已知，直线的参数方程为为参数），直线交曲线于，两点，求．
玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考
文科参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
BACDB CDCBC BB
二．填空题（共4小题）
13． 14. 15. 16. 64
三．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1），
∵，
又A为锐角，
∴．
（2）∵△ABC的外接圆半径为1，
∴由正弦定理得＝2R＝2，得a＝2sinA＝2sin＝2×＝，
所以a2＝b2+c2﹣2bccos，
即3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
即bc≤3．
则三角形的面积S＝bcsinA≤×3×＝，（b＝c时取等号）．
故三角形面积最大值为．
18．【解答】解：（1）S3＝12，即3a1+3d＝12，①
a2，a6，a18成等比数列，可得a62＝a2a18，
即有（a1+5d）2＝（a1+d）（a1+17d），②
由①②解得a1＝d＝2，
则an＝2n：
（2）证明：＝＝2（﹣），
则前n项和为Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2（1﹣），
由{Tn}为递增数列，可得Tn≥T1＝1，Tn＜2，
即有1≤Tn＜2．
19【解答】解：（1）证明：如图，连接 ，
是的中点，
又是的中点，
，
又平面， 平面，
平面
（2）解：，
是的中点，
到平面的距离是到平面的距离的一半，
如图，作交于，
由正三棱柱的性质，
易证平面，
设底面正三角形边长为，
则三棱锥的高，
，
解得．故该正三棱柱的底面边长为．
20.【解答】解：（1）因为所以，
因为函数在处取得极值，
则（1），
当时，，
则，
，随的变化情况如下表：
，
1
0
0
极大值
极小值
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（2）因为，
令，得或，
因为在取得极值，且，所以在上单调递增，
在，上单调递减，所以在区间，上的最大值为（1），
由（1）知，（1）得，
则，
令（1），解得，
得．
21．【解答】解：（1）双曲线﹣＝1的离心率为＝2，
可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，
因为C过点P，所以+＝1，又c2＝a2﹣b2，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆方程为+＝1；
（2）①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，
设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），
由于直线l1，l2与圆（x﹣1）2+y2＝r2（0）相切，则有k1＝﹣k2，
直线l1的方程为y﹣＝k1（x﹣1），
联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y，得x2（3+4k12）+k1（12﹣8k1）x+（3﹣2k1）2﹣12＝0，
因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1+1＝，
同理，当l2与椭圆相交时，x2+1＝，
所以x1﹣x2＝，而y1﹣y2＝k1（x1+x2）﹣2k1＝﹣，
所以直线MN的斜率k＝＝；
日期：2019/3/18 22．【解答】解：（1）设圆上任意一点，曲线上任意一点，
则由题意得，代入方程，可得，
即曲线的参数方程为
（2）将直线的参数方程变为为参数）代入，
化简得，设方程的两个实根为，，，，
则．
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