玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考
理科数学试卷
一． 选择题（共12小题,每小题5分,共60分）
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．设复数z满足,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列能使成立的所在区间是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入a＝3，4，5，6，7，…，则输出的s＝（ ）
A． B． C． D.
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），
零件数x个
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
75
81
89
由最小二乘法求得回归直线方程
由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与圆交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
1
2
3
x
y=kx+2
y
y=f(x)
9．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）
o
A． B． C． D
10．已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝AD＝BD＝，BC＝6，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积（ ）
A． B． C． D .
11．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则＝（ ）
A． B．3 C． D．6
12．已知函数f（x）＝xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
二．填空题（共4小题,每小题5分,共20分）
13．已知：x，y满足约束条件，则的最小值为 ．
14．曲线与直线及x轴所围成的封闭图形的面积为 ．
15．设等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为 ．
16．已知直线l：y＝2x+b被抛物线C：y2＝2px（p＞0）截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为（3，0），则的最小值为 ．
三．解答题（共6小题,共70分）
17．（本小题12分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+(2cos2x﹣1）．
（1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角A的大小.
（2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
18．（本小题12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为，若，
且a2，a6，a18成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为，求证：．
19．（本小题12分）如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA∥DC，若EA：AB：DC＝2：2：1，F是BE的中点．
（1）证明： FD⊥平面ABE；
（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值. .
20．（本小题12分)已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）当a＝3时，证明：对任意，都有成立.
21．(本小题12分)已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点P（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M、N两点．
①求证：直线MN的斜率为定值；
②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．
22．(本小题10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考
理科参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
BACAB CDCBC BA
二．填空题（共4小题）
13． 14. 15. 64 16.
三．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1），
∵，
又A为锐角，
∴．
（2）∵△ABC的外接圆半径为1，
∴由正弦定理得＝2R＝2，得a＝2sinA＝2sin＝2×＝，
所以a2＝b2+c2﹣2bccos，
即3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
即bc≤3．
则三角形的面积S＝bcsinA≤×3×＝，（b＝c时取等号）．
故三角形面积最大值为．
18．【解答】解：（1）S3＝12，即3a1+3d＝12，①
a2，a6，a18成等比数列，可得a62＝a2a18，
即有（a1+5d）2＝（a1+d）（a1+17d），②
由①②解得a1＝d＝2，
则an＝2n：
（2）证明：＝＝2（﹣），
则前n项和为Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2（1﹣），
由{Tn}为递增数列，可得Tn≥T1＝1，Tn＜2，
即有1≤Tn＜2．
19证明：（1）取AB中点M，连结MC，
∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，
∴FM∥EA，FM＝EA＝1＝DC，
又EA∥DC，∴FM∥DC，且FM＝DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，
又AE∥CD，∴AE⊥CM，
∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB＝A，
∴FD⊥平面ABE．
解：（2）连结EM，∵MC⊥平面ABE，
∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，
∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，
EA∥DC，EA：AB：DC＝2：2：1，
∴CM＝＝，CM＝＝2，
sin∠CEM＝＝＝．
∴CE与平面EAB所成角的正弦值为．
20.【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝2x﹣（a﹣2）﹣＝，
当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；
（2）a＝3时，令g（x）＝f（x）﹣2（1﹣x）＝x2+x﹣3lnx﹣2，
则g′（x）＝2x+1﹣＝，
∵x＞0，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
故g（x）min＝g（1）＝0，
故g（x）≥0，即f（x）≥2（1﹣x）．
21．【解答】解：（1）双曲线﹣＝1的离心率为＝2，
可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，
因为C过点P，所以+＝1，又c2＝a2﹣b2，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆方程为+＝1；
（2）①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，
设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），
由于直线l1，l2与圆（x﹣1）2+y2＝r2（0）相切，则有k1＝﹣k2，
直线l1的方程为y﹣＝k1（x﹣1），
联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y，得x2（3+4k12）+k1（12﹣8k1）x+（3﹣2k1）2﹣12＝0，
因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1+1＝，
同理，当l2与椭圆相交时，x2+1＝，
所以x1﹣x2＝，而y1﹣y2＝k1（x1+x2）﹣2k1＝﹣，
所以直线MN的斜率k＝＝；
②设直线MN的方程为y＝x+m，联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y得x2+mx+m2﹣3＝0，
所以|MN|＝•＝，
原点O到直线的距离d＝，
△OMN的面积为S＝••＝•
≤•＝，
当且仅当m2＝2时取得等号．经检验，存在r（0＜r＜）），
使得过点P（1，）的两条直线与圆（x﹣1）2+y2＝r2相切，
且与椭圆有两个交点M，N．
所以△MNO面积的最大值为．
日期：2019/3/18 19:46:46；用户：绿浪；邮箱：orFmNtxsRhtW-dpQzk48-CwJ7mN0@weixin.jyeoo.com；学号22．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2＝a2．
∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①
由x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；
（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，
∴x2+y2＝4x，②
即（x﹣2）2+y2＝4．
由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2x，
∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，
∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ，
∴1﹣a2＝0，
∴a＝1（a＞0）．
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日期：2019/3/14 22:19:12；用户：绿浪；邮箱：orFmNtxsRhtW-dpQzk48-CwJ7mN0@weixin.jyeoo.com；学号：24293812
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